Hermitisk operator

Alla vektorer (utom nollvektorn) i $E_{\lambda }$ är egenvektorer med egenvärde $\lambda$. Och eftersom $E_{\lambda }$ är ett underrum/delrum till V så kommer Gram-Schmidt tillämpat på de ursprungliga egenvektorerna i din bas med egenvärde $\lambda$ att producera vektorer som ligger i $E_{\lambda }$ men som är ortogonala.

PATENTERAMERA skrev:

Alla vektorer (utom nollvektorn) i $E_{\lambda }$ är egenvektorer med egenvärde $\lambda$. Och eftersom $E_{\lambda }$ är ett underrum/delrum till V så kommer Gram-Schmidt tillämpat på de ursprungliga egenvektorerna i din bas med egenvärde $\lambda$ att producera vektorer som ligger i $E_{\lambda }$ men som är ortogonala.

Ah okej, eftersom alla vektorer är egenvektorer i $E_{\lambda }$ så är linjär kombinationer av vektorerna efter Gram-Schimidt också egenvektorer. Tack! Det betyder alltså att om vi hittar ett egenrum så kan vi alltid använda Gram-Schmidt och göra den ortogonal? Alla linjär kombinationer av två egenvektorer är också en egenvektor. Förstår inte riktigt varför boken säger att för en godtycklig operator L så är inte alltid dess egenrum ortogonal.

Zeshen skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Alla vektorer (utom nollvektorn) i $E_{\lambda }$ är egenvektorer med egenvärde $\lambda$. Och eftersom $E_{\lambda }$ är ett underrum/delrum till V så kommer Gram-Schmidt tillämpat på de ursprungliga egenvektorerna i din bas med egenvärde $\lambda$ att producera vektorer som ligger i $E_{\lambda }$ men som är ortogonala.

Ah okej, eftersom alla vektorer är egenvektorer i $E_{\lambda }$ så är linjär kombinationer av vektorerna efter Gram-Schimidt också egenvektorer. Tack! Det betyder alltså att om vi hittar ett egenrum så kan vi alltid använda Gram-Schmidt och göra den ortogonal? Alla linjär kombinationer av två egenvektorer är också en egenvektor. Förstår inte riktigt varför boken säger att för en godtycklig operator L så är inte alltid dess egenrum ortogonal.

Det fetade gäller för två egenvektorer med samma egenvärde, inte i allmänhet.

Smutsmunnen skrev:

Zeshen skrev:

Visa föregående citat

PATENTERAMERA skrev:

Alla vektorer (utom nollvektorn) i $E_{\lambda }$ är egenvektorer med egenvärde $\lambda$. Och eftersom $E_{\lambda }$ är ett underrum/delrum till V så kommer Gram-Schmidt tillämpat på de ursprungliga egenvektorerna i din bas med egenvärde $\lambda$ att producera vektorer som ligger i $E_{\lambda }$ men som är ortogonala.

Ah okej, eftersom alla vektorer är egenvektorer i $E_{\lambda }$ så är linjär kombinationer av vektorerna efter Gram-Schimidt också egenvektorer. Tack! Det betyder alltså att om vi hittar ett egenrum så kan vi alltid använda Gram-Schmidt och göra den ortogonal? Alla linjär kombinationer av två egenvektorer är också en egenvektor. Förstår inte riktigt varför boken säger att för en godtycklig operator L så är inte alltid dess egenrum ortogonal.

Det fetade gäller för två egenvektorer med samma egenvärde, inte i allmänhet.

Men vad händer då om vi har tre egenvektorer med samma egenvärden i rummet $E_{\lambda }$? Då kommer Gram-Schimdt inte fungera? Hur visar vi 7.5 då?

Jag förstår inte, det är ju det vi har och det är ju då det fungerar.

Jag menade alltså: Det fetade gäller för två egenvektorer med samma egenvärde. Det gäller däremot inte för två egenvektorer i allmänhet, det vill säga inte när de har olika egenvärden.

Bokens bevis bygger på att applicera Gram-Schmidt på egenvektorer med samma egenvärden.

Smutsmunnen skrev:

Jag förstår inte, det är ju det vi har och det är ju då det fungerar.

Jag menade alltså: Det fetade gäller för två egenvektorer med samma egenvärde. Det gäller däremot inte för två egenvektorer i allmänhet, det vill säga inte när de har olika egenvärden.

Bokens bevis bygger på att applicera Gram-Schmidt på egenvektorer med samma egenvärden.

Jahaaa, nu förstår jag tack! Gram-Schmidt funkar alltså för två eller fler vektorer om de har samma egenvärden. Förstod inte att du syftade på samma egenvärden utan två egenvektorer. Tack!