Hermitesk symmetri hos inre produkt på ett komplext funktionsrum

Hej, se:

Följande likhet ska alltså gälla:

$<f, g> = \int_{D} f \bar{g} = <g, f> = \int_{D} g f$

Men jag tycker inte att det är trivialt, varför gäller det? Vad är beviset?

Att integralen kan ses som en summa och att komplexa konjugatet är distributivt och $f = f$ ?

Från den inledande kursen i komplex analys där vi lärt oss ansätta $w(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ kan vi låna konceptet att dela upp en funktion i dess real- och imaginärdelar. Dessutom är funktionerna såklart oberoende av y på det reella intervallet $[a,b]$ .

$f(x)=u_f(x)+iv_f(x)$

$g(x)=u_g(x)+iv_g(x)$

Men den ansättningen kan du verifiera eventuella integraler och kanske bygga egna hjälpsatser!

(Och ja, på en tenta skulle jag godkänna argumentet att komplexkonjugering är distributiv)

Edit: En intressant utökning är att istället studera funktioner $u\in PC(a,b)$ , dvs styckvis kontinuerliga funktioner på intervallet. Då får vi ett spännande problem med kravet $||u||>0$ för alla $u\neq 0$ eftersom funktionerna kan anta nollskilda värden i ett ändligt antal punkter på intervallet samtidigt som integralen dvs $||u||=0$ . Hur löser man det? Rolig övningsuppgift!

Jroth skrev:
Från den inledande kursen i komplex analys där vi lärt oss ansätta $w(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ kan vi låna konceptet att dela upp en funktion i dess real- och imaginärdelar.

Just det just det!

Edit: En intressant utökning är att istället studera funktioner $u\in PC(a,b)$ , dvs styckvis kontinuerliga funktioner på intervallet. Då får vi ett spännande problem med kravet $||u||>0$ för alla $u\neq 0$ eftersom funktionerna kan anta nollskilda värden i ett ändligt antal punkter på intervallet samtidigt som integralen dvs $||u||=0$ . Hur löser man det? Rolig övningsuppgift!

Vadå?

Det här är alltså en linjär algebra fråga haha.

Sorry, my bad, trodde att det var uppvärmning inför Fourieranalys, hade för mig att du postade om det ganska nyligen :)

Återkom till frågan om konvergens och vad det innebär att två funktioner är "lika" förutom i ändligt många punkter när / om dina Fourieräventyr tar dig mot $L^2$ -rum.

Åh... det här är faktiskt från kapitel 7 om L2 rum i boken om fourieranalys (Vretblad). Jag hoppade dit för att det verkade bortkopplat från resten av boken och jag gillar linjär algebra.

Återkom till frågan om konvergens och vad det innebär att två funktioner är "lika" förutom i ändligt många punkter när / om dina Fourieräventyr tar dig mot L2-rum.

Vilken fråga? Den här, den här? Jag vill till L2 så snabbt som möjligt haha.

Svara

Visa senaste svar