hemligheter av roterande volymer

Matte 3 är det definitivt inte. Där lär man sig bara beräkna arean mellan en kurva och x-axeln.

Standardfråga 1a: Har du ritat?

Det blir fel om du gör på det första sättet. Då låtsas du ju att tvärsnittsarean på volymen är en cirkel med radie $f(x)-g(x)$, men det är den ju inte. Tvärsnittsarean är en ring, en differens av två cirklar. Därför måste du räkna ut arean på cirkeln med radie $f(x)$ och arean på cirkeln med radie $g(x)$ och sedan subtrahera areorna.

EDIT: Rotationsvolymen kommer ju att se ut ungefär så här:

Och ett tvärsnitt ser då ut så här:

Här blir det ganska tydligt att tvärsnittsarean är den den stora cirkeln (med radie $f(x)$) minus den lilla cirkeln (med radie $g(x)$). Det är ju inte en cirkel med radie $f(x)-g(x)$.

Smaragdalena skrev:

Matte 3 är det definitivt inte. Där lär man sig bara beräkna arean mellan en kurva och x-axeln.

Standardfråga 1a: Har du ritat?

Of couuuurse! Men jag har uppenbarligen ritat felaktigt.

AlvinB skrev:

Det blir fel om du gör på det första sättet. Då låtsas du ju att tvärsnittsarean på volymen är en cirkel med radie $f(x)-g(x)$, men det är den ju inte. Tvärsnittsarean är en ring, en differens av två cirklar. Därför måste du räkna ut arean på cirkeln med radie $f(x)$ och arean på cirkeln med radie $g(x)$ och sedan subtrahera areorna.

EDIT: Rotationsvolymen kommer ju att se ut ungefär så här:

Och ett tvärsnitt ser då ut så här:

Här blir det ganska tydligt att tvärsnittsarean är den den stora cirkeln (med radie $f(x)$) minus den lilla cirkeln (med radie $g(x)$). Det är ju inte en cirkel med radie $f(x)-g(x)$.

Tack AlvinB, det är ganska tydligt (tack för dina fina rotationsvolymer). Så $f(x) - g(x)$ fungerar alltså bara för areor.

dajamanté skrev:

AlvinB skrev:

[...]

Tack AlvinB, det är ganska tydligt (tack för dina fina rotationsvolymer). Så $f(x) - g(x)$ fungerar alltså bara för areor.

Ja, när man räknar ut areor mellan kurvor tar man $f(x)-g(x)$ (man kan ju också se det som att man först räknar ut arean under $f(x)$ och sedan drar bort arean $g(x)$, men eftersom det bara är ett minustecken mellan kan man baka ihop det till en enda integral).

Med rotationsvolymer måste man dock räkna ut areorna först och sedan subtrahera, eftersom $\pi r_1^2-\pi r_2^2\neq\pi(r_1-r_2)^2$.

Okej jag fattar. Tack igen!