Heltalet n

Pilen säger att om det bakom är sant, då måste det framför också vara det. Finns det udda tal som går att dela med 6? Går alla udda tal att dela med tre?

Renny19900 skrev:

Heltalet n är ett udda tal... Ett udda tal kan exempelvis vara 9.  Talet 9 är delbart med 3 men inte med talet 6. Hur ska man tänka när man ska sätta pilarna?

Det enklaste kanske är att tänka i motexempel.

Kan du komma på något udda tal som inte uppfyller villkoret "Heltalet n är delbart med 3 men inte med 6".

Ett exempel på ett sådant tal är ett udda heltal n som inte är delbart med 3. Kan du komma på något sådant?

I så fall kan du inte ha en dubbelpil från vänster till höger, och därmed inte heller en ekvivalenspil åt båda håll.

----

Gå sedan åt andra hållet. Kan du komma på något jämnt heltal n som uppfyller villkoret att det är delbart med 3 men inte med 6? I så fall kan du inte heller ha en dubbelpil åt vänster.

Yngve skrev:

Renny19900 skrev:

Heltalet n är ett udda tal... Ett udda tal kan exempelvis vara 9.  Talet 9 är delbart med 3 men inte med talet 6. Hur ska man tänka när man ska sätta pilarna?

Det enklaste kanske är att tänka i motexempel.

Kan du komma på något udda tal som inte uppfyller villkoret "Heltalet n är delbart med 3 men inte med 6".

Ett exempel på ett sådant tal är ett udda heltal n som inte är delbart med 3. Kan du komma på något sådant?

I så fall kan du inte ha en dubbelpil från vänster till höger, och därmed inte heller en ekvivalenspil åt båda håll.

----

Gå sedan åt andra hållet. Kan du komma på något jämnt heltal n som uppfyller villkoret att det är delbart med 3 men inte med 6? I så fall kan du inte heller ha en dubbelpil åt vänster.

Jag förstår inte helt hur man ska tänka  i motexempel...? Menar du att man ska tänka att påståenden är tvärtom det som står... 

ifall jag har tänkt rätt : talet 13 är ett udda tal som inte uppfyller påståendet ”heltalet n är delbart med 3 men inte 6”. 13 är varken delbart med 3 eller 6

ska man tänka så här ”heltalet n är ett jämnt tal ( ) heltalet n är inte delbart med 3 men är delbart med 6”

Precis, du har hittat ett udda tal, och det är inte delbart med 3. Då vet du att udda tal inte kan peka på delbart med 3. 

Kan pilen peka åt andra hållet?

Heltalet n är ett udda tal... Som ex talet 9. Talet nio är delbart med 3 men inte 6. Alltså kan jag sätta en pil åt höger ( ->) Men om man tänker tvärtom... Talet 27 är delbart med 3 men inte 6. Talet 27 är ett udda tal... Då borde pilen vara åt bägge håll..

Det måste vara sant för alla tal om du ska sätta någon pil. Du har visat redan vilket håll pilen inte kan peka, så nu ska du bestämma om alla tal som är delbara med 3 men inte 6 är udda. 

Varför kan pilen inte vara <-> ? Jag förstår inte hur man ska tänka

Renny19900 skrev:

Varför kan pilen inte vara <-> ? Jag förstår inte hur man ska tänka

Dubbelpil $\Leftrightarrow$ betyder att både $\Rightarrow$ och $\Leftarrow$ gäller, så om inte $\Rightarrow$ gäller så kan inte heller $\Leftrightarrow$ gälla.

Kan man testa med att sätta in ett tal för att lösa sånna typer av uppgifter? Eller måste man vara generell och inte specifik med just ett tal? 

Ett exempel : talet 9 är ett udda tal (är det fel om jag väljer ett udda tal som jag utgår från eller måste jag utgå från alla udda tal som finns?  

talet 9 är ett udda tal (påstående A) -> talet nio är delbart med 3 men inte 6. 

Vi dubbelkollar andra hållet 

Ett tal är delbart med 3 men inte 6.... det kan vara 9 -> nio är ett udda tal... Alltså <-> 

Jag vet att det är fel.. Vart felet?

Renny19900 skrev:

Kan man testa med att sätta in ett tal för att lösa sånna typer av uppgifter? Eller måste man vara generell och inte specifik med just ett tal? 

Ett exempel : talet 9 är ett udda tal (är det fel om jag väljer ett udda tal som jag utgår från eller måste jag utgå från alla udda tal som finns?  

talet 9 är ett udda tal (påstående A) -> talet nio är delbart med 3 men inte 6. 

Vi dubbelkollar andra hållet 

Ett tal är delbart med 3 men inte 6.... det kan vara 9 -> nio är ett udda tal... Alltså <-> 

 

Jag vet att det är fel.. Vart felet?

Testa 7.

Talet sju är ett udda tal som varken är delbart med 3 eller 6. Pilen blir varken -> eller <- eller <->

Renny19900 skrev:

Kan man testa med att sätta in ett tal för att lösa sånna typer av uppgifter? Eller måste man vara generell och inte specifik med just ett tal? 

Ett exempel : talet 9 är ett udda tal (är det fel om jag väljer ett udda tal som jag utgår från eller måste jag utgå från alla udda tal som finns?  

talet 9 är ett udda tal (påstående A) -> talet nio är delbart med 3 men inte 6. 

Vi dubbelkollar andra hållet 

Ett tal är delbart med 3 men inte 6.... det kan vara 9 -> nio är ett udda tal... Alltså <-> 

 

Jag vet att det är fel.. Vart felet?

För att visa att en implikation $A\Rightarrow B$ inte gäller så räcker det att hitta ett motexempel, dvs att hitta en situation där $A$ är ett sant påstående men där $B$ är ett falskt påstående.

Vi tar din uppgift.

$A$ är påståendet "Heltalet n är ett udda tal".

$B$ är påståendet "Heltalet n är delbart med 3 men inte med 6".

Om du nu väljer n = 5 så kommer $A$ att vara ett sant påstående och $B$ att vara ett falskt påstående. Du har då hittat ett motexempel och implikationen $A\Rightarrow B$ är alltså inte giltig.

Då kan inte heller ekvivalensen $A\Leftrightarrow B$ vara giltig, eftersom $\Leftrightarrow$ betyder "Om och bara om", dvs $\Leftrightarrow$ gäller endast då både $\Rightarrow$ och $\Leftarrow$ gäller.

Och vi har ju redan visat att $\Rightarrow$ inte gäller.

--------

För att visa att en implikation $A\Leftarrow B$ gäller så måste du antingen visa att påståendet $B$ alltid är falskt eller så måste du visa att det inte finns något motexempel enligt ovan, dvs du måste då visa att det alltid gäller att om $B$ är ett sant påstående så måste $A$ vara ett sant påstående. Här räcker det alltså inte med ett exempel.

Vi tar din uppgift.

Det är enkelt att visa att $B$ inte alltid är falskt. Vi kan t.ex. välja n = 9. Då är n delbart med 3, men inte med 6, dvs $B$ är då ett sant påstående.

Det är lite svårare att hitta ett motexempel.

Att $B$ är ett sant påstående, dvs att heltalet n är delbart med 3 men inte med 6 innebär att n kan vara vilket som helst av talen $\pm3,\pm9,\pm15,\pm21$ och så vidare.

Alla dessa tal är udda, så i dessa fall är även påståendet $A$ sant.

Vi hittar inget motexempel och vi får därför istället gå över till att försöka visa att implikationen $A\Leftarrow B$ är giltig, dvs att det alltid gäller att om heltalet n är delbart med 3 men inte med 6 så gäller även att heltalet n är udda.

Vi kan då använda att om heltalet n är delbart med 3 så är faktorn 3 med i en faktorisering av n. Men om heltalet n inte är delbart med 6 så är faktorn 6 inte med i talets faktorisering. Eftersom 6 = 3*2 så ska det alltså gälla att faktorn 3 är med men att faktorn 2 inte är med.

Nu är det ju så att alla jämna heltal m kan skrivas som m = 2*k, där k är ett heltal vilket som helst. Alltså innehåller alla jämna tal faktorn 2. Men n innehåller inte faktorn 2, alltså kan inte n vara ett jämnt tal.

Alltså måste n vara ett udda tal.

Alltså måste påståendet $A$ alltid vara sant om påståendet $B$ är sant.

På det sättet ur vi visat att implikationen $A\Leftarrow B$ är giltig.

Blev det lite klarare då?

Tack så mycket för en fantastisk förklaring!!!!!!!!!. 

Tyvärr så känner jag mig fortfarande osäker när det gäller liknande uppgifter.

Jag undrar hur man ska tänka i sådana typer av uppgifter.. Hur ska man veta om $om ska sätta den pilen \to , eller \leftarrow ,\leftrightarrow$... Finns det någon generell tankesätt?  Det jag hittills har förstått är att man ska försöka hitta ett motexempel för att avgöra om man ska sätta pilen eller inte åt ett visst håll.... Jag vill lära mig hur man ska tänka när man stöter på sånna uppgifter.. Hur ska man tänka?

Tack för all hjälp!

Finns det någon generell tankesätt? Det jag hittills har förstått är att man ska försöka hitta ett motexempel för att avgöra om man ska sätta pilen eller inte åt ett visst håll.... Jag vill lära mig hur man ska tänka när man stöter på sånna uppgifter.. Hur ska man tänka?

Du verkar ha förstått. Antingen hittar man ett motbevis, eller också försöker man bevisa påståendet. Du kommer att lära dig mer om bevis och bevismetoder om du läser Ma4 och Ma5.