Heltal

För att slippa skriva så mycket med formelskrivaren (som är omåttligt slö på min hemmadator) sätter jag att

a=k*d+r och b=m*d+s. Då blir ab = (k*d+r)(m*d+s). Multiplicera ihop parenteserna. Sedan kan du bryta ut ett d ur alla termer utom den sista. Du får ett uttryck på formen ab = nd + rs, d v s att resten av produkten är lika med produkten av respektive faktors rest.

Det som du kallar k2 är hela det uttrycket som multipliceras med d, och det är betydligt krångligare än k*k1. (Om jag har lyckats räkna ut rätt hur det är du tänker, alltså.)

smaragdalena skrev :

För att slippa skriva så mycket med formelskrivaren (som är omåttligt slö på min hemmadator) sätter jag att

a=k*d+r och b=m*d+s. Då blir ab = (k*d+r)(m*d+s). Multiplicera ihop parenteserna. Sedan kan du bryta ut ett d ur alla termer utom den sista. Du får ett uttryck på formen ab = nd + rs, d v s att resten av produkten är lika med produkten av respektive faktors rest.

Jag får att ab = (d*k*m + k*s + m*r)*d + r*s

Hur kan man visa att k*m + k*s + m*r = 0 så att man bara får r*s kvar?

Du kan se att (d*k*m + k*s + m*r)*d är delbart med d. Detta gäller (naturligtvis) vad än (d*k*m + k*s + m*r) har för värde. Om du vill, kan du kalla (d*k*m + k*s + m*r) för n, så att du kan skriva ac=n*d+rs.

smaragdalena skrev :

Du kan se att (d*k*m + k*s + m*r)*d är delbart med d. Detta gäller (naturligtvis) vad än (d*k*m + k*s + m*r) har för värde. Om du vill, kan du kalla (d*k*m + k*s + m*r) för n, så att du kan skriva ac=n*d+rs.

Men om man ersätter ab med c som i sin tur är lika med k(2)*d + r(2), hur kan man visa att r(2) = r*s ?

Om ab=n*d+rs=k(2)*d+r(2) så gäller ju rs=r(2) mod d och det är det som frågan gäller.

Henrik Eriksson skrev :

Om ab=n*d+rs=k(2)*d+r(2) så gäller ju rs=r(2) mod d och det är det som frågan gäller.

inte om man försöker lösa ut r(2), för då får man att r(2) = n*d - k(2)d + rs

(detta är en aktivitet inför kongruens så det är inte meningen att använda modulo)

Jo, det måste vara kongruens som avses, annars är det inte sant. Sätt d=3, a=b=2, ab=4, resten av produkten är 1 men produkten av resterna är 4.

Henrik Eriksson skrev :

Jo, det måste vara kongruens som avses, annars är det inte sant. Sätt d=3, a=b=2, ab=4, resten av produkten är 1 men produkten av resterna är 4.

Så hur ska man visa det om det är en förberedande aktivitet inför kongruensräkning och då kan man inte använda "kongruenshjälpmedel" för att bevisa sambandet?

Det är ju ett superenket resonemang som inte använder några kongruenshjälpmedel. Det visar att resten av produkten är samma som produkten av resterna SÅ NÄR SOM PÅ EN MULTIPEL AV TOLV.

Henrik Eriksson skrev :

Det är ju ett superenket resonemang som inte använder några kongruenshjälpmedel. Det visar att resten av produkten är samma som produkten av resterna SÅ NÄR SOM PÅ EN MULTIPEL AV TOLV.

Men varför kan man inte visa att r(2) = r*s utan att behöva analysera något (utan genom att termer tar ut varandra i högerledet och kvar blir det r*s?)

Kombinatorik skrev :

smaragdalena skrev :

Du kan se att (d*k*m + k*s + m*r)*d är delbart med d. Detta gäller (naturligtvis) vad än (d*k*m + k*s + m*r) har för värde. Om du vill, kan du kalla (d*k*m + k*s + m*r) för n, så att du kan skriva ac=n*d+rs.

Men om man ersätter ab med c som i sin tur är lika med k(2)*d + r(2), hur kan man visa att r(2) = r*s ?

Precis på det sätt jag skrev. Börja bara inte bakifrån! Det du kallar k2 är det jag kallar n, och det är lika med (d*k*m + k*s + m*r) med de beteckningar jag valde.

smaragdalena skrev :

Kombinatorik skrev :

smaragdalena skrev :

Du kan se att (d*k*m + k*s + m*r)*d är delbart med d. Detta gäller (naturligtvis) vad än (d*k*m + k*s + m*r) har för värde. Om du vill, kan du kalla (d*k*m + k*s + m*r) för n, så att du kan skriva ac=n*d+rs.

Men om man ersätter ab med c som i sin tur är lika med k(2)*d + r(2), hur kan man visa att r(2) = r*s ?

Precis på det sätt jag skrev. Börja bara inte bakifrån! Det du kallar k2 är det jag kallar n, och det är lika med (d*k*m + k*s + m*r) med de beteckningar jag valde.

Kan du visa hur man kan (utan att resonera) bevisa det? Jag känner mig osäker om jag har förstått

Bevisa utan att resonera var ett självmotsägande krav! Så här skrev jag förut. Om ab=n*d+rs=k(2)*d+r(2) så gäller ju rs=r(2) mod d och det är det som frågan gäller.

Sätt a=k*d+r och b=m*d+s. Då blir c = ab = (k*d+r)(m*d+s) = (d*k*m + k*s + m*r)*d + r*s = n*d+rs. Alltså kan c skrivas som n*d+rs.

smaragdalena skrev :

Sätt a=k*d+r och b=m*d+s. Då blir c = ab = (k*d+r)(m*d+s) = (d*k*m + k*s + m*r)*d + r*s = n*d+rs. Alltså kan c skrivas som n*d+rs.

Precis det här! Krångligare är det inte. Och eftersom varken r eller s är delbart med d så är inte r*s heller delbart med d. Alltså är det trivialt resten då alla andra termer är delbara med d.

Eller snarare: rs är resten plus en multipel av d.

Henrik Eriksson skrev :

Eller snarare: rs är resten plus en multipel av d.

Det här är definitift sant. Det man själv lärt sig om modulo i skola och yrkesliv har för min del iaf en stor skillnad mot det som jag sett i skolböcker på Mattecentrums räknestugor. Man nyttjar begreppet kongruens, som är i princip samma sak. Men med en viktig skillnad mot vad jag lärt mig.

Med modulo får man, i t ex programimplementationer, alltid den minsta resten.
Exempel: $1\equiv 101\left(mod10\right)$  Dvs resten vid division med 10 är 1. Och resten är då mindre än divisorn, dvs det är den minsta resten.

I de kongruensuppgifter jag sett i dagens matteböcker så fastställer man dock att även följande är sant:
$11\equiv 101(mod10)$ 

Jag läser detta så här:
Om man drar bort 11 från 101 så kommer det vara jämnt delbart med 10

Vilket förstås är sant. Dvs om man har ekvationen $x\equiv 101(mod10)$ så finns det flera lösningar på denna kongruens. Detta illustreras ofta med "klockor" där antalet "timmar" på urverket är divisorn. Sen går man hela varv, vilket motsvarar att dra bort hela multiplar av divisorn och på så sätt identifierar lösningar.

För att återkoppla till din viktiga kommentar så är skillnaden mellan vad jag tidigare ansett vara modulo och det som benämns kongruens den sista pusselbiten till det här talet. Jag illustrerar med ett exempel.

Vi har ett heltal 11, som ska delas med divisorn 6. Vi får då resten 5. Vi skriver om på formen a=k*d+r.
11=1*6+5

Det vi ska visa är att om vi tar två tal gånger varandra så kommer resten av den produkten vara produkten av de två resterna.
Vi behöver ett tal till, så vi väljer 10.
10=1*6+4
Låt oss testa hypotesen. 10*11 = 110. Vi förväntar oss enligt hypotesen att få rest r=4*5=20

110=18*6+2
Den minsta resten är alltså 2, vilket inte är 4*5. Så om vi med resten avser den minsta resten så stämmer inte hypotesen. Om vi istället avser att se om resternas produkt konguerar mot produkten av talet så är frågeställningen istället

"Om vi drar bort 4*5 från produkten, kommer det talet då vara delbart med 6?"
$\frac{110-4*5}{6}=\frac{90}{6}=15$

Ja!

Tack Henrik för att du påpekade denna detalj. Det är definitionsskillnad i vad man avser vara rest inom kongrugens jämfört med vad man får ut mha modulokonceptet som alltså är samma sak fast endast den minsta resten.

Extra:
En konsekvens av kongrugensbegreppet är att man kan få negativa rester.
$-1\equiv 15\left(mod8\right)$