Hekatombisk algebradag 6

Faktorisera i reella faktorer:

$x^{3} - 3 x + 2$

Jag tar rationella rotsatsen:

$x^{3} - 3 x = - 2$

Dvs att $s = \pm 1$ och $t = \pm 1, \pm 2$

Dvs att våra möjliga rötter är: $\pm 1 o c h \pm \frac{1}{2}$

$1^{3} - 3 + 2 = 0 \Rightarrow (x - 1) ä r e n f a k t o r$ .

Efter en kort och korrekt ligandestol procedur (som jag ska fota) hittar jag quotient $x^{2} + x - 2$ , dvs att faktorisering blir:

${(x - 1)}^{2} (x + 2)$

Frågor:

1. Hur ser jag multiplicitet av en faktor direkt?

2. Jag trodde att rationella rotsatsen ger alla möjliga svaren i form av $\frac{s}{t}$ . Varför en av mina rötter blev en av de möjliga värden på t, dvs $- 2$ ? Måste jag också testa värdena för t?

Min mödosam men algebraisk korrekt lösning:

Hej Daja,

Ekvationen

$x^3+px+q=0$ har 1 reell rot om D>0, tre reella rötter med minst 1 dubbelrot om D=0, tre olika reella rötter om D<0. Det magiska talet D är

$D=(\frac{p}{3})^2+(\frac{q}{2})^2$

För din ekvation gäller $p=-3$ , $q=2$ vilket ger $D=0$ , alltså har din ekvation minst 1 reell dubbelrot.

Dessutom vet vi att $x_1\cdot x_2\cdot x_3=-q$ och om 1 är en dubbelrot får vi alltså ekvationen $1\cdot 1\cdot x_3=-2\Rightarrow x_3=-2$ vilket också uppfyller ursprungsekvationen och därmed har vi tre reella rötter med D=0 vilket ger vår faktorisering $(x-1)^2(x+2)$

Angående rationella rotsatsen så ska s dela $a_0=2$ och t ska dela $a_n=1$ , du verkar ha vänt på det?

Guggle skrev :
Hej Daja,
Ekvationen
$x^3+px+q=0$ har 1 reell rot om D>0, tre reella rötter med minst 1 dubbelrot om D=0, tre olika reella rötter om D<0. Det magiska talet D är
$D=(\frac{p}{3})^2+(\frac{q}{2})^2$

Oj! En till sak att tatuera på kycklingsarmen! Varifrån kommer denna magisk D ifrån?

Angående rationella rotsatsen så ska s dela $a_0=2$ och t ska dela $a_n=1$ , du verkar ha vänt på det?

Jo tyvärr, jag vänder på de hela tiden... Nåt knäpp för att komma ihåg det perfekt?

Svara