Area av en cirkel som innehåller cirklar

Vi har den "hela" cirkelns radie = r

Den stora vita cirkelns radie = r1

Den lilla vita cirkelns radie = r2

Vi får då att r = r1 + r2

En cirkels area vet vi beräknas $A=\pi ·r^2$

Då tar vi den stora "hela" cirkelns area minus de två vita cirklarna, detta vet vi ju att det är $2\pi$ från uppgiften

$\Rightarrow {\mathrm{\pi r}}^2-\mathrm{\pi r}{1}^2-\mathrm{\pi r}{2}^2=2\mathrm{\pi }$

Detta leder till ett ekvationssystem

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{\mathrm{\pi r}}^2-\mathrm{\pi r}{1}^2-\mathrm{\pi r}{2}^2=2\mathrm{\pi }\\ r=r1+r2\end{array}\right.\Rightarrow \pi {(r1+r2)}^2-\mathrm{\pi r}{1}^2-\mathrm{\pi r}{2}^2=2\mathrm{\pi } \\ \Rightarrow {(\mathrm{r}1+\mathrm{r}2)}^2-\mathrm{r}{1}^2-\mathrm{r}{2}^2=2 \Rightarrow \mathrm{r}{1}^2+2\mathrm{r}1\mathrm{r}2+\mathrm{r}{2}^2-\mathrm{r}{1}^2-\mathrm{r}{2}^2=2 \\ \Rightarrow 2\mathrm{r}1\mathrm{r}2=2 \Rightarrow \mathrm{r}1·\mathrm{r}2=1 \end{gathered}$$

Med Pythagoras sats och sambanden vi fått fram ovan kan vi enkelt räkna ut x. Avståndet mellan den "hela" cirkelns mittpunkt och skärningspunkten för de små cirklarna fås med r1-r2.

$$\begin{gathered} x^2+{(r1-r2)}^2={(r1+r2)}^2\Rightarrow x^2+r{1}^2-2r1r2+r{2}^2=r{1}^2+2r1r2+r{2}^2 \\ \Rightarrow x^2-2r1r2=2r1r2 \end{gathered}$$

Sedan tidigare vet vi att r1*r2=1

$$\begin{gathered} \Rightarrow x^2-2=2 \\ \Rightarrow x=\pm \sqrt{4}=\pm 2 \end{gathered}$$

Halva sträckan AB är då = 2 $\Rightarrow AB = 4 l.e$