Hävd Diskontinuitet

Om p(x) är av grad n så är differenskvoten inte definierad för $x=a$

- Gränsvärdet existerar inte då $x\to a$ eftersom differenskvoten för alla $x\ne a$ kan förenklas till ett polynom av grad $n-1$

$\frac{p\left(x\right)-p\left(a\right)}{x-a} kan skrivas om till: p^{\text{'}}\left(a\right)+(x-a)q\left(x\right)$     där $q\left(x\right)$ beror på $a$

$p\left(x\right) skrivs som ett taylorpolynom "p\left(x\right)=p\left(a\right)+(x-a)q\left(x\right)"$

$$\begin{gathered} \frac{p\left(x\right)-p\left(a\right)}{x-a}=p^{\text{'}}\left(a\right)+(x-a)q\left(x\right) \\ HL=kontinuerlig \\ VL=diskontinuerlig \end{gathered}$$

- Vi har hävt diskontinuiteten genom att definiera det saknade funktionsvärdet i punkten $x=a$ för VL  för att överensstämma med HL för $x=a$   ($p^{\text{'}}\left(a\right)$).

_____________________________________________________________________________________

(teorin ovan är från min bok, nuförtiden på Pluggakuten måste ju det redovisas att man har läst och försökt först i inläggen:P)

_____________________________________________________________________________________

Att häva diskontinuiteten är att
(om)definiera värdet $f\left(a\right)$ så att det sammanfaller med funktionens gränsvärde. Vi säger också
att vi utvidgar $f$till en kontinuerlig funktion.

______________________________________________________________________________________

(teorin ovan är från internet)

______________________________________________________________________________________

I min bok nämns ett exempel med funktionen   $f\left(x\right)=\frac{x^2-9}{x-3}$

$Fnktionens gränsvärde, när x\to 3 så går f\left(x\right)\to 0$

- Vi kan bryta ut faktorn x genom att applicera konjugatregeln, sedan förkorta vilket ger:

$f\left(x\right)=\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x+3)(x-3)}{x-3}=x+3$

- Vi kan konstatera att funktionen nu är definierad för alla x ändå, när den står skriven i den "nya" formen istället för den ursprungliga. 

- Nu kan det exakta gränsvärdet beräknas:

$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2-9}{x-3}=\underset{x\to 3}{\lim }x+3=6$        (funktionen är kontinuerlig i punkten, eftersom $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=f\left(a\right)$)

Slutsats:  f(x) har gränsvärdet 6 då x går mot 3 MEN är inte definierad i x=3 dvs funktionen är diskontinuerlig. 

Ifall jag ska taylorutveckla p(x) så får jag   $$\begin{gathered} p\left(x\right)=p\left(a\right)+(x-a)q\left(x\right) \\ p\left(x\right)=0+(x-3)6 \end{gathered}$$

Jag förstår inte varför de lägger till $p^{\text{'}}\left(a\right)?$ Eller rättare sagt jag förstår inte hela hävningsprocessen, lägger de till det för att få funktionen "definierad"?