Hastighet i polära koordinater

Är det möjligtvis $\vec{r}=r \, h\hat{r}$

eller snarare där$\hat{r}=cos\theta \hat{x}+h\hat{y}$

Tillägg: Jag får då att $v=\dot{r}\hat{r}-rsin\left(\theta\right) \dot{\theta}\hat{x}$

I polära koordinater så är $\overrightarrow{r}=r\hat{r}$.

Man behöver kanske inte komplicera det hela.

$\overrightarrow{v}=\left(\overrightarrow{v}\bullet \hat{r}\right)\hat{r}+\left(\overrightarrow{v}\bullet \hat{\theta }\right)\hat{\theta }=v\left(\cos \theta \hat{r}-\sin \theta \hat{\theta }\right)$.

Sedan har man från geometrin att

$r\sin \theta =h$

$r\cos \theta =x\left(t\right)=x_0+vt$.

Vilket ger att

$\sin \theta =\frac{h}{\sqrt{h^2+{\left(x_0+vt\right)}^2}}$

$\cos \theta =\frac{\left(x_0+vt\right)}{\sqrt{h^2+{\left(x_0+vt\right)}^2}}$.

Om vi sätter in detta i hastighetsekvationen så får vi

$\overrightarrow{v}=\frac{v}{\sqrt{h^2+{\left(x_0+vt\right)}^2}}\left[\left(x_0+vt\right)\hat{r}-h\hat{\theta }\right]$.

PATENTERAMERA skrev:

$\overrightarrow{v}=\left(\overrightarrow{v}\bullet \hat{r}\right)\hat{r}+\left(\overrightarrow{v}\bullet \hat{\theta }\right)\hat{\theta }=v\left(\cos \theta \hat{r}-\sin \theta \hat{\theta }\right)$.

Tack så jättemycket för svaret!

Jag har grubblat på detta ett tag men är inte riktigt med på var skalärprodukterna kommer ifrån.

Om vi har att $\vec{v}=\dot{r}\hat{r}+r\dot{\theta}\hat{\theta}$ så har du skrivit $\dot{r}=\dfrac{dr}{dt}=\vec{v}\bullet \hat{r}$, jag ser inte hur det stämmer

Om du har en ON-bas med vektorer e1 och e2 så gäller det för en godtycklig vektor x att

x = (x•e1)e1 + (x•e2)e2. Jag antar att detta är känt från linjär algebra. Annars är det lätt att visa. Du bör lägga detta på minnet, för det används ganska ofta.

I vårt fall så utgör $\hat{r}$ och $\hat{\theta }$ en ON-bas. Så detta är bara en tillämpning av ovan nämnda samband.

Sedan utnyttjar jag att $\overrightarrow{v}=v{\overrightarrow{e}}_{ x}$.

${\overrightarrow{e}}_x\bullet \hat{r}$ och ${\overrightarrow{e}}_x\bullet \hat{\theta }$ kan man läsa ut geometriskt ur figuren.

Det är faktiskt sant att $\dot{r}=\overrightarrow{v}\bullet \hat{r}$, oavsett om man ser det eller inte. Du har ju faktiskt indirekt visat det med din uträkning.

Men min lösning var bara ett förslag. Jag tycker du skall fortsätta med din lösning. Dvs utgå från formeln som du tog fram

$\overrightarrow{v}=\dot{r}\hat{r}+r\dot{\theta }\hat{\theta }$.

Sedan har du ju även de geometriska sambanden som jag nämnde

$r\sin \theta =h$

$r\cos \theta =x_0+vt$.

De kan kanske komma till användning.

Hej, hur gick det med denna? Kommer du vidare?

PATENTERAMERA skrev:

Hej, hur gick det med denna? Kommer du vidare?

Hej, jag har lagt denna uppgift åt sidan tillsvidare. Det står inte något om ämnet i min kursbok så det enda jag har att gå på är föreläsningsanteckningar. Känner att jag måste läsa lite mer innan jag kan försöka ge mig på uppgiften.