Harmoniskt medelvärdet och olikheter?

Hejsan!

Jag har problem med följande fråga:

Det harmoniska medelvärdet av två positiva tal $a$ och $b$ definieras som $H (a, b) = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$ .

Visa att det harmoniska medelvärdet uppfyller kravet på ett medelvärde, nämligen $a \leq H (a, b) \leq b$ om $a \leq b$ .

Som jag förstår det så ska jag visa att $a \leq \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq b$ gäller, men jag vet inte hur jag ska börja. Finns det någon som kan ge mig en liten knuff?

Jag skulle börja med att fixa till uttrycket i mellanledet. Multiplicera täljare och nämnare med ab:

2ab / (b+a) Nu tittar vi på vänstra olikheten. Antag att den är falsk, i så fall har vi

a > 2ab/(b+a)

a är positivt så båda led kan delas med a

1 > 2b / (b+a)

Både a och b är positiva så vi kan mult båda led med a+b

a+b > 2b

a > b

Men detta är en motsägelse eftersom b > a. Det ger att vänstra olikheten inte är falsk.

Den högra olikh bör kunna angripas på samma sätt.

Tack så mycket! Jag borde kunna lösa det nu!

Svara