harmonisk svängning

Börja med att hitta ett uttryck för elongationen. Allt du behöver veta för detta står i uppgiften (eller i din formelsamling).

i boken står det att lägeskoordinaten y brukar kallas för elongationen. Den kan max vara 1,5 i ytterlägena, enligt uppgiften. Så -0,15 och 0,15.

Är ett uttryck isåfall 0,15sin$\omega t$?

är jämviktsläget 0?  Asin$(\omega t+\phi )$står det i formelboken.

Om jag behöver ha ut k, kan jag få det genom att beräkna $1,5=2pi\sqrt{\frac{0,35}{k}}$?

Varför vill du räkna ut k? Behöver du det för att lösa uppgiften?

Du vet att svängningstiden är 1,5 s. Kan du beräkna $\omega$?

tog inte med fråga b) men den var hur stor är fjäderkraften i samma ögonblick.

$$\begin{gathered} \omega =\sqrt{\frac{k}{m}} \\ \omega =\sqrt{\frac{6,14}{0,35}} \\ \omega \approx 4,2 \end{gathered}$$

$0,10\sin (4,2·1,5)$?

Vinkelhastighet är $2pi/1,5$

Smaragdalena skrev:

Varför vill du räkna ut k? Behöver du det för att lösa uppgiften?

Du vet att svängningstiden är 1,5 s. Kan du beräkna $\omega$?

Strunta i fjäderkonstanten k, du behöver inte den. Hur ser funktionen för elongationen ut, om amplituden är 0,15 m och svängningstiden är 1,5 sekunder?

0,15sin(4,2*1,5)= 0,0165

Nej. Har du inte läst min spoiler?

Jo, är inte T= 1,5?

2pi/1,5= 4,2=$\omega$?

$\frac{2\pi}{1,5}=3\pi$. Avrunda inte så brutalt, åtminstone inte utan att förklara att det är det du gör!

Utan att avrunda - hur ser funktionen för elongationen ut?

Tillägg: 14 jul 2022 09:07

Oj, jag vände på nämnaren...

Smaragdalena skrev:

$\frac{2\pi}{1,5}=3\pi$.  

$\frac{2\pi}{3/2} = \frac{4\pi}{3} \approx 4,\!2$

(Min främste kommentar på Olivias resultat skulle vara att inte glömma enheter:  vinkelfrekvensen $\omega \approx 4,\!2\ {\rm s}^{-1}.$)

jag använde grafräknaren bara av vana, visste inte att jag ska svara i pi.

Blir det såhär?

$0,15\sin (\frac{2\mathrm{\pi }}{1,5}·1,5)= 0,15\sin \left(2\mathrm{\pi }\right)$

Använder man ej rad/s som enhet?

OliviaH skrev:

Blir det såhär?

$0,15\sin (\frac{2\mathrm{\pi }}{1,5}·1,5)= 0,15\sin \left(2\mathrm{\pi }\right)$

 

Använder man ej rad/s som enhet?

Som ledningen i uppgiften är formulerad behöver man först skriva elongationen som funktion av tid:

$y(t) = 0,\!15 \sin(\dfrac{2 \pi t}{T} + \phi).$

Därmed kan man bestämma hastigheten osv genom att bestämma derivator med avseende på tidsvariabeln t. Du kan utan problem välja fasvinkel $\phi = 0$ för att göra det lite enklare.

(Ja, jag tycker egentligen också att din metod med att bestämma fjäderkonstanten k först är ett enklare sätt att lösa den här uppgiften. Det ska förstås ge samma svar.)

Ja, vinkelfrekvens uttrycks i radian per sekund, men radianer är egentligen rena tal. 

Hmm okej.. ska prova komma fram till svaren på båda sätten, 

Ska jag derivera uttrycket?

Kan jag få hjälp med hur jag ska göra om jag använder fjäderkonstanten?

För en fjäder gäller att: F = kx

 kan du bestämma k är det lätt att räkna ut kraften när x = 0,1 m

k bestämmer du med hjälp av : $\frac{2\pi }{T}=\sqrt{\frac{k}{m}}$

Vill du istället göra som facit tipsar om så utnyttjar du kraftekvationen F = ma

a bestämmer du genom att derivera elongationen två ggr

Hur ska jag veta vad T² är? Är det svängningstiden 1,5 s? Eller är det mindre eftersom x= 0,1 0 och inte 0,15?

$0,35*0,1*\frac{4pi²}{T²}= F$

Detta blir min ekvation

T är tiden för en svängning, dvs 1,5 i detta fall. 

Så det tar samma tid, 1,5 s för 0,15 m och 0,10 m ? Varför?

Får svaret F= ungefär 0,614 N eller m/s² ?

k= 6,14

Har du gjort som man tipsade om i facit och tagit fram en funktion för elongationen? Jag har scrollat igenom tråden men inte lyckats se om du har skrivit det någonstans. Andra har skrivit den funktionen, men (så vitt jag kan se) inte du. Skriv den, och derivera den två gånger.

$y\left(t\right)=0,15\sin (\frac{2\mathrm{\pi t}}{T}+\varnothing )$

om jag deriverar den 2 gånger blir det.. $$\begin{gathered} y\text{'}\left(t\right)= \cos \left(\frac{2\mathrm{\pi t}}{T²}\right) \\ y\text{'}\text{'}\left(t\right)= -\sin \left(\frac{2\mathrm{\pi t}}{T²}\right) \end{gathered}$$?

Ja, om du multiplicerat båda derivatorna med konstanten 0,15 (m). Kraften är ju F = ma.  Accelerationen som funktion av tiden är a(t) =  -0,15sinGt där G har värdet $2\pi/T^2$. För att kunna beräkna accelerationen när y = 0,10 m måste vi ta fram rätt ett värde på t. Vet du hur du skall göra detta?

EDIT: ser nu att du har tappat inre derivatan

nej, det har jag inte gjort. Hur blir det om jag multiplicerar derivatorna med 0,15 menar du?

$0,10=-0,15\sin \left(\frac{2\mathrm{\pi t}}{1,5²}\right)$

Genom att lösa denna ekvation kan jag få ut t?

$$\begin{gathered} \frac{1,5²*0,10}{-0,15\sin \left(2\mathrm{\pi }\right)}= t \\ t=- 0,164 \end{gathered}$$

Använd kedjeregeln.

Om $y(t) = 0,\!15 \sin({\dfrac{2\pi t}{T}})$ är hastigheten $y'(t) = 0,\!15  \dfrac{2\pi }{T} \cos(\dfrac{2\pi t}{T})$. 

Sedan accelerationen.

om jag deriverar y prim av t så får jag accelerationen. Men jag är osäker på hur jag ska derivera. Var menar du att jag ska använda kedjeregeln?

Ja, och för att få accelerationen skall du ... För att få kraften (som man frågar efter i uppgiften) skall du ...

OliviaH skrev:

Var menar du att jag ska använda kedjeregeln?

Derivatan av $\sin(x)$ är $\cos(x).$

Kedjeregeln ger att derivatan av $\sin(ax)$ är $a \cos(ax).$

$$\begin{gathered} y\text{'}\left(t\right)=0,15\frac{2\mathrm{\pi }}{T}\cos (\frac{2\mathrm{\pi t})}{T} \\ om jag deriverar denna igen får jag \\ y\text{'}\text{'}(t)= -0,15\frac{2\mathrm{\pi }}{T}*\frac{2\mathrm{\pi }}{T}\sin (\frac{2\mathrm{\pi t}}{T})= 0,15\frac{4\mathrm{\pi }²}{T²}\sin (\frac{2\mathrm{\pi t}}{T}) \end{gathered}$$?

(Med ett minustecken, men det spelar inte så stor roll här.)

Sedan behöver du veta accelerationen när $y(t) = 0,\!10\ {\rm m}$.

Sedan kan du använda $F=ma$.

$$\begin{gathered} 0,10= -0,15\frac{4\mathrm{\pi }²}{T²}\sin \left(\frac{2\mathrm{\pi t}}{T}\right) \\ Ska jag lösa denna ekvation isåfall? \\ Hänger inte med.. \end{gathered}$$

Du behöver inte lösa någon ekvation.

Det är inte tiden som du behöver för att räkna ut accelerationen när y = 0,10 m.

Smaragdalena skrev att jag behöver t, i inlägg #25 ?

Ska jag sätta in 0,10 där t är i andraderivatan?

Eller 

$0,10 som amplitud i andraderiva\tan och 1,5 som T$

Du kan bestämma t, visst, det är en metod.

Men om du jämför uttrycken för elongationen och accelerationen ser du att det inte riktigt behövs i det här fallet.

skillnaden är att man multiplicerar med 4pi² dividerat med T² ?

Precis!

Då ska jag ta $\frac{4\mathrm{\pi }²}{T²}*0,1*m=F$

??

Ja!

Skrivit såhär till uppgiften, behöver den förklaras mer?

Kan jag få hjälp med b) uppgiften också? 

Bestämma fjäderkraften vid samma ögonblick. 

Får 0,614 N för fjäderkraften, stämmer det? Ska jag addera eller subtrahera med tyngdkraften?

Newtons lag säger $F = m a$, där accelerationen här är $a = 0,\!10 \ \dfrac{4\pi^2}{T^2}$.

Det är nog bra med mer text.

Ja, bestäm fjäderkonstanten utifrån vad som är givet. Använd sedan Hookes lag.

$$\begin{gathered} F=k*x \\ k= 6,14 och x =0,10 \\ vilket ger fjäderkraft=0,614 N \\ tyngdkraften är 3,437 N. \\ Fjäderkraften är ju 0,614 N? eller tänker jag fel? \end{gathered}$$

Om två olika sätt att räkna ut uppgiften ger samma svar, då behöver man väl inte oroa sig? 

Då ska man vara nöjd med sig själv, tycker jag!

ja, absolut men fjäderkraften kan väl inte vara samma som det i fråga a)?

OliviaH skrev:

 fjäderkraften kan väl inte vara samma som det i fråga a)?

Ja, det är samma. Det är fjädern som ger massan en acceleration tillbaka till jämviktsläget. 

$F = m a$ (Newtons lag)
$F = - k x$ (Hookes lag)

Det ger ekvationen $m \dfrac{{\rm d}^2x}{{\rm d}t^2} = - k x$, som är differentialekvationen för en harmonisk oscillator.

det du skrev om harmonisk oscillator har jag inte läst något om men min uträkning stämmer?

Det som saknas är en logisk berättelse. Text alltså. Du måste förklara vad du gör. Tänk hur du själv vill att exempel i boken ska se ut.

Sedan ska du alltid skriva enheter.