Harmonisk svängning

Man gör en ansats att elongationen är på formen

$y=A\sin\omega t$

När detta sätts in i diffekvationen så ger det att kravet för lösning (förutom y = 0 för alla t) är att vinkelhastigheten är precis

$\omega = \sqrt{k/m}$

Fast varför måste endast vinkelhastigheten uppfylla det kravet varför är det inget krav på Asin(wt) att det ska också vara noll? Och sedan hade inte ansatsen kunnat gälla någon annan from som inte är på sinus eller cosinus formen? Varför antar de just Asin(wt)?

Ok, då gör vi det ordentligt. 

Ansatsen är 

$y=A\sin\omega t$

Insättning i diffekvationen ger 

$A\sin \omega t(\omega^2-\dfrac{k}{m})=0$

En produkt är 0 om minst en faktor är 0. 

A = 0 ger y = 0 för alla t. En lösning, men en tråkig sådan. 

sin wt  = 0 ger y = 0 för alla t om w = 0, annars är y = 0 för wt = nπ, så inte för alla t, så det duger inte. 

Parentesen = 0 ger w = √(k/m). Det ger att lösningen är 

$y = A\sin(\sqrt{\dfrac{k}{m}}t)$

En linjär diffekvation av andra ordningen ger lösningar innehållande två godtyckliga konstanter. A är en sådan konstant. En annan konstant kan läggas in i fasen på sinusfunktionen, så den allmänna lösningen är 

$y=A\sin(\sqrt{\dfrac{k}{m}}t+\phi)$

Den lösningen kan också skrivas som en cosinusfunktion om du vill. 

Fast varför måste ansatsen just vara sinus eller även cosinus? Sedan förstår jag inte varför lägger du till en ytterligare konstant i slutet?

Man vet att rörelsen måste uppfylla differentialekvationen 

$y\text{'}\text{'}+\frac{k}{m}y=0$

Den differentialekvationen har den allmänna lösningen $y\left(t\right)=A\sin \left(\sqrt{\frac{k}{m}}·t\right)+B\cos \left(\sqrt{\frac{k}{m}}·t\right)$

Att detta är en lösning är enkelt att bevisa, det är bara att prova. (Att det är enda lösningen är utanför gymnasiematematik att bevisa).

Så både sin-funktionen och cos-funktionen beskriver lösningar, fast med olika tidreferenser. Normalt, och för att göra det enkelt för sig så kan man bestämma att vid tiden t=0 är y=0, dvs $y\left(0\right)=0$ (annars kunde vi ju börja mäta tiden vid en helt annan tidpunkt $y\left(t_1\right)=0$, och rörelsen blir en sinusfunktion med någon fasvinkel, dvs en linjärkombination av sinus och cosinus)

Alltså. $y\left(t\right)=A\sin \left(\sqrt{\frac{k}{m}}·t\right)$ är en lösning till differentialekvationen och den uppfyller villkoret  $y\left(0\right)=0$. Slutsatsen blir då att ekvationen beskriver elongationen som söks.

För att vara helt säker:

$$\begin{gathered} y\left(t\right)=A\sin \left(\sqrt{\frac{k}{m}}·t\right) \\ y\text{'}\left(t\right)=\sqrt{\frac{k}{m}}·A\cos \left(\sqrt{\frac{k}{m}}·t\right) \\ y\text{'}\text{'}\left(t\right)=-\frac{k}{m}A\sin \left(\sqrt{\frac{k}{m}}·t\right) \end{gathered}$$

Sätt in funktionerna i differentialekvationen 

$y\text{'}\text{'}=-\frac{k}{m}·A\sin \left(\sqrt{\frac{k}{m}}·t\right)=-\frac{k}{m}y$

VSB.

I boken säger man först att lösningen är av formen $y\left(t\right)=A\sin \left(\omega t\right)$, sätter sedan in ansatsen i differentialekvationen och kommer fram till att det bara kan vara en lösning om  $-{\omega }^2+\frac{k}{m}=0$, dvs $\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$.