Harmonisk Svängning

Jag behöver hjälp med att tolka lösningsförslaget. Jag antar att lambda beskriver förlängningen gamma enligt $γ = r / 2 m$ , men varför anges enheten i sekund upphöjt i minus ett? Vinkelhastigheten är jag med på, men tycker att den borde anges i rad/s. $ω = \sqrt{k / m}$ . Sen står det sammantaget ger detta? Beräknade vi inte nyss vinkelhasitgheten? Vad är $ω (b)$ för något? Jag antar att man multiplicerarar vinkelhastigheten med roten ur 1 minus med förlängningen/vinkelhastigheten upphökt i två, varför?

Vad för något är faskonstanten? Varför står det 0,08*1*cos(fi)? Borde det inte stå vinkelhastigheten*tiden? Vad beskriver x som räknas ut? Varför multipliceras det med e^(-1,72*0,315), förstår inte hela sista raden.

Många frågor men försöker ändå. Ni har aldrig svikit mig. Tack på förhand!

Fick inget svar, tråkigt. Men jag löste det själv.

Hej Plupp,

Det var tråkigt att du inte fick någon hjälp. Som plåster på såren kan jag visa hur jag skulle räkna ut uppgiften eftersom det finns så mycket göttig fysik i den. Newtons andra lag ger oss

$\displaystyle{F_{fj}-mg-b\dot{x}=m\ddot{x}}$

$F_{fj}=k(l_0-x)$ , x motriktad g.

$\displaystyle{\ddot{x}+\frac{b}{m}\dot{x}+\frac{k}{m}x=\frac{kl_0}{m}-g}$

Nu kan vi utan förlust välja nollpunkten för x så att högerledet blir 0 $l_0=\frac{mg}{k}$ och ekvationen kan skrivas

$\ddot{x}+\gamma \dot{x}+\omega_0^2x=0$

Denna homogena differentialekvation har lösningarna:

$x=Ae^{-(\gamma/2)t}cos(\omega_1t+\varphi)$

Där alltså

$\omega_0^2=\frac{k}{m},\quad \gamma=\frac{b}{m},\quad \omega_1=\sqrt{\omega_0^2-\frac{\gamma^2}{4}}$ .

$\omega_1=\frac{2\pi}{T}\iff T=\frac{2\pi}{\omega_1}$

$T=\frac{2\pi}{\sqrt{\omega_0^2-\gamma^4/4}}=\frac{2\pi}{\sqrt{k/m-b^2/(2m)^2}}$

$T=\frac{2\pi}{\sqrt{k/m-b^2/(2m)^2}}=\frac{2\pi}{\sqrt{20(\mathrm{N/m})/0.050(\mathrm{kg})-0.172^2/(2\cdot0.050)^2(\mathrm{s^{-1}})^2}}\approx 0.315\mathrm{s}$

Edit: Rättade avrundningsfel :)

Svara