8 svar
267 visningar
sannakarlsson1337 590
Postad: 18 sep 2020 11:27

Harmonisk konjugat.

Hitta harmonisk konjugat av funktionen
f(x,y)=6y3-18x2y+4x2-4xy-4y2+3x+6y-1.f(x,y) = 6y^3-18x^2y+4x^2-4xy-4y^2+3x+6y-1.
__

Lösning:
Vi måste först hitta en funktion U s.t f=u+iv är analytisk.

df/dx=36xy+8x-4y+3df/dx = 36xy+8x-4y+3
df/dy=18y2-18x2-4x-8y+6df/dy = 18y^2-18x^2-4x-8y+6

Och vi behöver hitta dU/dx=df/dydU/dx = df/dy och dU/dy=-df/dxdU/dy = -df/dx

Kan det verkligen stämma?

För vad är mitt UU? .. jag följer denna YouTube video https://www.youtube.com/watch?v=tWX8YwKfd_k

Freewheeling 220 – Fd. Medlem
Postad: 18 sep 2020 13:10 Redigerad: 18 sep 2020 13:14

Givet din funktion ff vill du bestämma en funktion gg sådan att den komplexvärda funktionen h=f+igh=f+ig blir analytisk. Vi vet att om funktionerna ff och gg uppfyller fx=gy\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial g}{\partial y} och fy=-gx\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{\partial g}{\partial x}, samt har kontinuerliga partiella derivator, så kommer funktionen h=f+igh=f+ig att vara analytisk.

Du har redan beräknat de partiella derivatorna för ff men du har missat ett minustecken framför 36xy36xy i uttrycket för fx\frac{\partial f}{\partial x}. När vi fixat detta så återstår det att bestämma en funktion gg som uppfyller

(1) gy=-36xy+8x-4y+3\frac{\partial g}{\partial y} = -36xy + 8x - 4y + 3, samt

(2) gx=-18y2+18x2+4x+8y-6\frac{\partial g}{\partial x} = -18y^2 + 18x^2 + 4x + 8y - 6

Jag postar resten av lösningen i spoilers ifall du vill försöka fortsätta själv.

Visa spoiler

Om vi utgår från (1) så ser vi att g(x,y)=-18xy2+8xy-2y2+3y+g1(x)g(x,y) = -18xy^2 + 8xy - 2y^2 + 3y + g_1(x), där g1(x)g_1(x) är en funktion av enbart xx och inte yy.

Om vi utgår från (2) ser vi att g(x,y)=-18xy2+6x3+2x2+8xy-6x+g2(y)g(x,y) = -18xy^2 + 6x^3 + 2x^2 + 8xy - 6x + g_2(y), där g2(y)g_2(y) är en funktion av endast yy.

De båda uttrycken för g(x,y)g(x,y) måste vara lika och om vi jämför dessa så ser vi att vi kan t.ex. välja g1(x)=6x3+2x2-6xg_1(x) = 6x^3 + 2x^2 - 6x och g2(y)=-2y2+3yg_2(y) = -2y^2 + 3y.  Detta ger g(x,y)=-18xy2+6x3+2x2+8xy-6x-2y2+3yg(x,y) = -18xy^2 + 6x^3 + 2x^2 + 8xy - 6x -2y^2 + 3y. Både ff och gg har nu uppenbarligen kontinuerliga partiella derivator och de uppfyller Cauchy-Riemanns ekvationer så saken är klar.

sannakarlsson1337 590
Postad: 19 sep 2020 08:20
Freewheeling skrev:

Givet din funktion ff vill du bestämma en funktion gg sådan att den komplexvärda funktionen h=f+igh=f+ig blir analytisk. Vi vet att om funktionerna ff och gg uppfyller fx=gy\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial g}{\partial y} och fy=-gx\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{\partial g}{\partial x}, samt har kontinuerliga partiella derivator, så kommer funktionen h=f+igh=f+ig att vara analytisk.

Du har redan beräknat de partiella derivatorna för ff men du har missat ett minustecken framför 36xy36xy i uttrycket för fx\frac{\partial f}{\partial x}. När vi fixat detta så återstår det att bestämma en funktion gg som uppfyller

(1) gy=-36xy+8x-4y+3\frac{\partial g}{\partial y} = -36xy + 8x - 4y + 3, samt

(2) gx=-18y2+18x2+4x+8y-6\frac{\partial g}{\partial x} = -18y^2 + 18x^2 + 4x + 8y - 6

Jag postar resten av lösningen i spoilers ifall du vill försöka fortsätta själv.

Visa spoiler

Om vi utgår från (1) så ser vi att g(x,y)=-18xy2+8xy-2y2+3y+g1(x)g(x,y) = -18xy^2 + 8xy - 2y^2 + 3y + g_1(x), där g1(x)g_1(x) är en funktion av enbart xx och inte yy.

Om vi utgår från (2) ser vi att g(x,y)=-18xy2+6x3+2x2+8xy-6x+g2(y)g(x,y) = -18xy^2 + 6x^3 + 2x^2 + 8xy - 6x + g_2(y), där g2(y)g_2(y) är en funktion av endast yy.

De båda uttrycken för g(x,y)g(x,y) måste vara lika och om vi jämför dessa så ser vi att vi kan t.ex. välja g1(x)=6x3+2x2-6xg_1(x) = 6x^3 + 2x^2 - 6x och g2(y)=-2y2+3yg_2(y) = -2y^2 + 3y.  Detta ger g(x,y)=-18xy2+6x3+2x2+8xy-6x-2y2+3yg(x,y) = -18xy^2 + 6x^3 + 2x^2 + 8xy - 6x -2y^2 + 3y. Både ff och gg har nu uppenbarligen kontinuerliga partiella derivator och de uppfyller Cauchy-Riemanns ekvationer så saken är klar.

Hej,

Jag är inte med på att det blir tex (1) är en funktion av enbart x och inte y? och vise versa

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 19 sep 2020 13:57

Det "blir" inte så. Man väljer sina funktioner g1(x) respektive g2(y) så att de uppfyller de kraven.

Freewheeling 220 – Fd. Medlem
Postad: 19 sep 2020 14:03

sannakarlsson1337 skrev:

Hej,

Jag är inte med på att det blir tex (1) är en funktion av enbart x och inte y? och vise versa

När du tar den primitiva funktionen av gg med avseende på yy så måste du inkludera möjligheten att gg kan innehålla ytterligare någon funktion av xx, då denna blir noll och försvinner när man tar derivatan med avseende på yy.

sannakarlsson1337 590
Postad: 25 sep 2020 08:30
Freewheeling skrev:

sannakarlsson1337 skrev:

Hej,

Jag är inte med på att det blir tex (1) är en funktion av enbart x och inte y? och vise versa

När du tar den primitiva funktionen av gg med avseende på yy så måste du inkludera möjligheten att gg kan innehålla ytterligare någon funktion av xx, då denna blir noll och försvinner när man tar derivatan med avseende på yy.

Jaha okej..

Men vad är det ett harmoniska konjugation gör???

Freewheeling 220 – Fd. Medlem
Postad: 25 sep 2020 14:01 Redigerad: 25 sep 2020 14:01

Harmoniskt konjugat är bara en benämning på hur två funktioner förhåller sig till varandra. Om två funktioner är harmoniska i ett visst område och dessutom uppfyller Cauchy-Riemanns ekvationer i området så säger vi att dessa två funktioner är harmoniska konjugat till varandra.

Vidare, om vi har en funktion ff som är harmonisk i ett område så kan vi konstruera en analytisk funktion h=f+igh=f+ig om vi lyckas hitta en funktion gg som är ett harmoniskt konjugat till ff. Det var detta vi gjorde i denna uppgift.

sannakarlsson1337 590
Postad: 26 sep 2020 14:59
Freewheeling skrev:

Harmoniskt konjugat är bara en benämning på hur två funktioner förhåller sig till varandra. Om två funktioner är harmoniska i ett visst område och dessutom uppfyller Cauchy-Riemanns ekvationer i området så säger vi att dessa två funktioner är harmoniska konjugat till varandra.

Vidare, om vi har en funktion ff som är harmonisk i ett område så kan vi konstruera en analytisk funktion h=f+igh=f+ig om vi lyckas hitta en funktion gg som är ett harmoniskt konjugat till ff. Det var detta vi gjorde i denna uppgift.

Då är jag med. Men jag däremot har lite svårt att tänka.. IRL (eller något) hur det kan appliceras ?

Freewheeling 220 – Fd. Medlem
Postad: 26 sep 2020 15:25

Vet inte riktigt vad du är ute efter men t.ex. inom signalbehandling så är det vanligt att man transformerar en signal (funktion) till dess harmoniska konjugat. Om du googlar på "Hilbert transform" så kan du läsa mer om detta.

Svara
Close