Harmonisk konjugat.

Hitta harmonisk konjugat av funktionen
$f(x,y) = 6y^3-18x^2y+4x^2-4xy-4y^2+3x+6y-1.$
__

Lösning:
Vi måste först hitta en funktion U s.t f=u+iv är analytisk.

$df/dx = 36xy+8x-4y+3$
$df/dy = 18y^2-18x^2-4x-8y+6$

Och vi behöver hitta $dU/dx = df/dy$ och $dU/dy = -df/dx$

Kan det verkligen stämma?

För vad är mitt $U$ ? .. jag följer denna YouTube video https://www.youtube.com/watch?v=tWX8YwKfd_k

Givet din funktion $f$ vill du bestämma en funktion $g$ sådan att den komplexvärda funktionen $h=f+ig$ blir analytisk. Vi vet att om funktionerna $f$ och $g$ uppfyller $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial g}{\partial y}$ och $\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{\partial g}{\partial x}$ , samt har kontinuerliga partiella derivator, så kommer funktionen $h=f+ig$ att vara analytisk.

Du har redan beräknat de partiella derivatorna för $f$ men du har missat ett minustecken framför $36xy$ i uttrycket för $\frac{\partial f}{\partial x}$ . När vi fixat detta så återstår det att bestämma en funktion $g$ som uppfyller

(1) $\frac{\partial g}{\partial y} = -36xy + 8x - 4y + 3$ , samt

(2) $\frac{\partial g}{\partial x} = -18y^2 + 18x^2 + 4x + 8y - 6$

Jag postar resten av lösningen i spoilers ifall du vill försöka fortsätta själv.

Visa spoiler

Om vi utgår från (1) så ser vi att $g(x,y) = -18xy^2 + 8xy - 2y^2 + 3y + g_1(x)$ , där $g_1(x)$ är en funktion av enbart $x$ och inte $y$ .

Om vi utgår från (2) ser vi att $g(x,y) = -18xy^2 + 6x^3 + 2x^2 + 8xy - 6x + g_2(y)$ , där $g_2(y)$ är en funktion av endast $y$ .

De båda uttrycken för $g(x,y)$ måste vara lika och om vi jämför dessa så ser vi att vi kan t.ex. välja $g_1(x) = 6x^3 + 2x^2 - 6x$ och $g_2(y) = -2y^2 + 3y$ . Detta ger $g(x,y) = -18xy^2 + 6x^3 + 2x^2 + 8xy - 6x -2y^2 + 3y$ . Både $f$ och $g$ har nu uppenbarligen kontinuerliga partiella derivator och de uppfyller Cauchy-Riemanns ekvationer så saken är klar.

Freewheeling skrev:
Givet din funktion $f$ vill du bestämma en funktion $g$ sådan att den komplexvärda funktionen $h=f+ig$ blir analytisk. Vi vet att om funktionerna $f$ och $g$ uppfyller $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial g}{\partial y}$ och $\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{\partial g}{\partial x}$ , samt har kontinuerliga partiella derivator, så kommer funktionen $h=f+ig$ att vara analytisk.
Du har redan beräknat de partiella derivatorna för $f$ men du har missat ett minustecken framför $36xy$ i uttrycket för $\frac{\partial f}{\partial x}$ . När vi fixat detta så återstår det att bestämma en funktion $g$ som uppfyller
(1) $\frac{\partial g}{\partial y} = -36xy + 8x - 4y + 3$ , samt
(2) $\frac{\partial g}{\partial x} = -18y^2 + 18x^2 + 4x + 8y - 6$
Jag postar resten av lösningen i spoilers ifall du vill försöka fortsätta själv.
Visa spoiler
Om vi utgår från (1) så ser vi att $g(x,y) = -18xy^2 + 8xy - 2y^2 + 3y + g_1(x)$ , där $g_1(x)$ är en funktion av enbart $x$ och inte $y$ .
Om vi utgår från (2) ser vi att $g(x,y) = -18xy^2 + 6x^3 + 2x^2 + 8xy - 6x + g_2(y)$ , där $g_2(y)$ är en funktion av endast $y$ .
De båda uttrycken för $g(x,y)$ måste vara lika och om vi jämför dessa så ser vi att vi kan t.ex. välja $g_1(x) = 6x^3 + 2x^2 - 6x$ och $g_2(y) = -2y^2 + 3y$ . Detta ger $g(x,y) = -18xy^2 + 6x^3 + 2x^2 + 8xy - 6x -2y^2 + 3y$ . Både $f$ och $g$ har nu uppenbarligen kontinuerliga partiella derivator och de uppfyller Cauchy-Riemanns ekvationer så saken är klar.

Hej,

Jag är inte med på att det blir tex (1) är en funktion av enbart x och inte y? och vise versa

Det "blir" inte så. Man väljer sina funktioner g1(x) respektive g2(y) så att de uppfyller de kraven.

sannakarlsson1337 skrev:
Hej,
Jag är inte med på att det blir tex (1) är en funktion av enbart x och inte y? och vise versa

När du tar den primitiva funktionen av $g$ med avseende på $y$ så måste du inkludera möjligheten att $g$ kan innehålla ytterligare någon funktion av $x$ , då denna blir noll och försvinner när man tar derivatan med avseende på $y$ .

Freewheeling skrev:
sannakarlsson1337 skrev:
Hej,
Jag är inte med på att det blir tex (1) är en funktion av enbart x och inte y? och vise versa
När du tar den primitiva funktionen av $g$ med avseende på $y$ så måste du inkludera möjligheten att $g$ kan innehålla ytterligare någon funktion av $x$ , då denna blir noll och försvinner när man tar derivatan med avseende på $y$ .

Jaha okej..

Men vad är det ett harmoniska konjugation gör???

Harmoniskt konjugat är bara en benämning på hur två funktioner förhåller sig till varandra. Om två funktioner är harmoniska i ett visst område och dessutom uppfyller Cauchy-Riemanns ekvationer i området så säger vi att dessa två funktioner är harmoniska konjugat till varandra.

Vidare, om vi har en funktion $f$ som är harmonisk i ett område så kan vi konstruera en analytisk funktion $h=f+ig$ om vi lyckas hitta en funktion $g$ som är ett harmoniskt konjugat till $f$ . Det var detta vi gjorde i denna uppgift.

Freewheeling skrev:
Harmoniskt konjugat är bara en benämning på hur två funktioner förhåller sig till varandra. Om två funktioner är harmoniska i ett visst område och dessutom uppfyller Cauchy-Riemanns ekvationer i området så säger vi att dessa två funktioner är harmoniska konjugat till varandra.
Vidare, om vi har en funktion $f$ som är harmonisk i ett område så kan vi konstruera en analytisk funktion $h=f+ig$ om vi lyckas hitta en funktion $g$ som är ett harmoniskt konjugat till $f$ . Det var detta vi gjorde i denna uppgift.

Då är jag med. Men jag däremot har lite svårt att tänka.. IRL (eller något) hur det kan appliceras ?

Vet inte riktigt vad du är ute efter men t.ex. inom signalbehandling så är det vanligt att man transformerar en signal (funktion) till dess harmoniska konjugat. Om du googlar på "Hilbert transform" så kan du läsa mer om detta.

Svara

Visa senaste svar