Härledninng eulers formel (Matematik/Matte 4/Komplexa tal)

För att förstå varför Eulers formel stämmer krävs nog Taylorserier som Wikipedia använder sig av eftersom Taylorserien för $e^x$ är vad som definierar $e^z$ för komplexa $z$ .

Man kan dock bevisa Eulers formel utan att kunna Taylorserier. Personligen gillar jag följande bevis:

Alla komplexa tal kan ju uttryckas på polär form. Alltså kommer

$e^{ix}=r(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$

för något absolutbelopp $r$ och något argument $\theta$ som båda beror av $x$ . Om man sedan deriverar båda sidor med avseende på $x$ fås:

$ie^{ix}=r'(\cos(\theta)+i\sin(\theta))+\theta ' \cdot r(-\sin(\theta)+i\cos(\theta))$

Vi kan sedan byta ut $e^{ix}$ i vänsterled mot $r(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$ och få:

$ir(\cos(\theta)+i\sin(\theta))=r'(\cos(\theta)+i\sin(\theta))+\theta ' \cdot r(-\sin(\theta)+i\cos(\theta))$

Multiplicerar man sedan ut uttrycken på båda sidor och likaställer koefficienter får man att $r'=0$ samt att $\theta '=1$ . Integrerar man dessa får man att $r=C_1$ och $\theta=x+C_2$ där $C_1$ och $C_2$ är konstanter. Man kan bestäma konstanterna genom:

$e^{i\cdot 0}=1$

vilket ger att $r=1$ och $\theta=0$ när $x=0$ , vilket ger att $r=1$ och $\theta=x$ . Sätter man in det i den ursprungliga ekvationen får man:

$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$

V.S.B.

AlvinB skrev:
För att förstå varför Eulers formel stämmer krävs nog Taylorserier som Wikipedia använder sig av eftersom Taylorserien för $e^x$ är vad som definierar $e^z$ för komplexa $z$ .
Man kan dock bevisa Eulers formel utan att kunna Taylorserier. Personligen gillar jag följande bevis:
Alla komplexa tal kan ju uttryckas på polär form. Alltså kommer
$e^{ix}=r(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$
för något absolutbelopp $r$ och något argument $\theta$ som båda beror av $x$ . Om man sedan deriverar båda sidor med avseende på $x$ fås:
$ie^{ix}=r'(\cos(\theta)+i\sin(\theta))+\theta ' \cdot r(-\sin(\theta)+i\cos(\theta))$
Vi kan sedan byta ut $e^{ix}$ i vänsterled mot $r(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$ och få:
$ir(\cos(\theta)+i\sin(\theta))=r'(\cos(\theta)+i\sin(\theta))+\theta ' \cdot r(-\sin(\theta)+i\cos(\theta))$
Multiplicerar man sedan ut uttrycken på båda sidor och likaställer koefficienter får man att $r'=0$ samt att $\theta '=1$ . Integrerar man dessa får man att $r=C_1$ och $\theta=x+C_2$ där $C_1$ och $C_2$ är konstanter. Man kan bestäma konstanterna genom:
$e^{i\cdot 0}=1$
vilket ger att $r=1$ och $\theta=0$ när $x=0$ , vilket ger att $r=1$ och $\theta=x$ . Sätter man in det i den ursprungliga ekvationen får man:
$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$
V.S.B.

jaha det verkar vara ett bra brvis, hur vet jag att e^ix är z från början?

Vad menar du med "att $e^{ix}$ är $z$ "? Menar du hur vi kan veta att $e^{ix}$ kommer att vara ett komplext tal?

Hej!

Definiera funktionen $f$ som parar ihop ett reellt tal ( $x$ ) med det komplexa talet $e^{ix}$ ,

$\displaystyle f(x) = e^{ix}$ .

Funktionens andraderivata är lika med funktionen $f^{''}(x) = i^2e^{ix} = -f(x)$ , vilket betyder att funktionen $f$ är en lösning till differentialekvationen

$\displaystyle y^{''}(x)+y(x)=0$ .

Lösningarna till denna differentialekvation kan skrivas

$\displaystyle y(x)=A\cos x + B\sin x$ ,

där $A$ och $B$ är komplexa konstanter som bestäms av två villkor som funktionen $y$ ska uppfylla. Funktionen $f$ är sådan att $f(0)=1$ och dess derivata är sådan att $f^'(0)=i$ . Dessa två villkor bestämmer att funktionen $f$ kan skrivas $f(x) = \cos x + i\sin x$ .

Vi har två sätt att skriva funktionen $f$ på, så de två sätten måste vara lika. Det betyder att vi har "visat" Eulers formel:

$\displaystyle e^{ix}=\cos x + i\sin x$ .

Några frågor att tänka på:

Kan man verkligen derivera funktionen $f$ som om $i$ vore en konstant?
Har differentialekvationen för $y$ verkligen komplexvärda funktioner som lösningar?
Har differentialekvationen för $y$ (med två randvillkor) verkligen en unik lösning?

AlvinB skrev:
Vad menar du med "att $e^{ix}$ är $z$ "? Menar du hur vi kan veta att $e^{ix}$ kommer att vara ett komplext tal?

exakt

danielladd skrev:
AlvinB skrev:
Vad menar du med "att $e^{ix}$ är $z$ "? Menar du hur vi kan veta att $e^{ix}$ kommer att vara ett komplext tal?
exakt

Ja, vad annars skulle det kunna vara?

Det är väl ett antagande man måste göra att $e^{ix}$ är ett komplext tal, men det är ju ganska logiskt. Det är väl större chans att ett reellt tal upphöjt till ett komplext tal blir ett komplext tal än ett enbart reellt tal? De komplexa talen innefattar ju även de reella talen, så du har ju en mycket större talmängd att "leta bland" om du antar att det är ett komplext tal.

Eftersom vi får ordentliga lösningar på konstanterna $r$ och $\theta$ ser vi att den ursprungliga "gissningen" att det var ett komplext tal var rätt.

Albiki skrev:
Hej!
Definiera funktionen $f$ som parar ihop ett reellt tal ( $x$ ) med det komplexa talet $e^{ix}$ ,
$\displaystyle f(x) = e^{ix}$ .
Funktionens andraderivata är lika med funktionen $f^{''}(x) = i^2e^{ix} = -f(x)$ , vilket betyder att funktionen $f$ är en lösning till differentialekvationen
$\displaystyle y^{''}(x)+y(x)=0$ .
Lösningarna till denna differentialekvation kan skrivas
$\displaystyle y(x)=A\cos x + B\sin x$ ,
där $A$ och $B$ är komplexa konstanter som bestäms av två villkor som funktionen $y$ ska uppfylla. Funktionen $f$ är sådan att $f(0)=1$ och dess derivata är sådan att $f^'(0)=i$ . Dessa två villkor bestämmer att funktionen $f$ kan skrivas $f(x) = \cos x + i\sin x$ .
Vi har två sätt att skriva funktionen $f$ på, så de två sätten måste vara lika. Det betyder att vi har "visat" Eulers formel:
$\displaystyle e^{ix}=\cos x + i\sin x$ .
Några frågor att tänka på:
Kan man verkligen derivera funktionen $f$ som om $i$ vore en konstant?
Har differentialekvationen för $y$ verkligen komplexvärda funktioner som lösningar?
Har differentialekvationen för $y$ (med två randvillkor) verkligen en unik lösning?

Har kanske glömt lite om Differentialekvationer men hur blir f en lösning till y"(x)+y(x)=0?

AlvinB skrev:
danielladd skrev:
AlvinB skrev:
Vad menar du med "att $e^{ix}$ är $z$ "? Menar du hur vi kan veta att $e^{ix}$ kommer att vara ett komplext tal?
exakt
Ja, vad annars skulle det kunna vara?
Det är väl ett antagande man måste göra att $e^{ix}$ är ett komplext tal, men det är ju ganska logiskt. Det är väl större chans att ett reellt tal upphöjt till ett komplext tal blir ett komplext tal än ett enbart reellt tal? De komplexa talen innefattar ju även de reella talen, så du har ju en mycket större talmängd att "leta bland" om du antar att det är ett komplext tal.
Eftersom vi får ordentliga lösningar på konstanterna $r$ och $\theta$ ser vi att den ursprungliga "gissningen" att det var ett komplext tal var rätt.

sedan undrar jag hur man kan bestämma konstanten genom att sätta x=0?

danielladd skrev:
AlvinB skrev:
danielladd skrev:
AlvinB skrev:
Vad menar du med "att $e^{ix}$ är $z$ "? Menar du hur vi kan veta att $e^{ix}$ kommer att vara ett komplext tal?
exakt
Ja, vad annars skulle det kunna vara?
Det är väl ett antagande man måste göra att $e^{ix}$ är ett komplext tal, men det är ju ganska logiskt. Det är väl större chans att ett reellt tal upphöjt till ett komplext tal blir ett komplext tal än ett enbart reellt tal? De komplexa talen innefattar ju även de reella talen, så du har ju en mycket större talmängd att "leta bland" om du antar att det är ett komplext tal.
Eftersom vi får ordentliga lösningar på konstanterna $r$ och $\theta$ ser vi att den ursprungliga "gissningen" att det var ett komplext tal var rätt.
sedan undrar jag hur man kan bestämma konstanten genom att sätta x=0?

Om man sätter in $x=0$ i $e^{ix}$ får man:

$e^{i \cdot 0}=e^0=1$

Om man ritar ut punkten $1$ i det ganska tydligt att argumentet blir noll och absolutbeloppet blir ett. Det ger ekvationerna

$r=C_1=1$

$\theta=x+C_2=0+C_2=0$

Då får man att $C_1=1$ och att $C_2=0$ vilket i sin tur ger att $r=1$ och $\theta=x$ .