Härledning till täthetsfunktionen för Z = X + Y

Hej,

Kanske lite otydlig rubrik men jag tänker som följer:
X och Y är kontinuerliga slumpvariabler och Z = X + Y. Jag förstår att man använder Y = Z - X men hur kommer man exakt fram till att:

$f_{z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y} (x, z - x) d x$

Jag behöver alltså hjälp med härledning av detta.

Hej!

Lagen om Total Sannolikhet låter dig skriva sannolikheten

$Prob(Z = z) = Prob(X+Y=z) = \sum_{x}Prob(X+Y = z \text{ och } X = x ) = \sum_{x}Prob(Y = z-x \text{ och } X = x)$ .

Om man tar hänsyn till att det är kontinuerliga stokastiska variabler så blir den motsvarande formuleringen för täthetsfunktionerna

$f_{Z}(z) = \int_{x} f_{X,Y}(x,z-x)\text{d}x.$

Albiki

Albiki skrev :
Hej!
Lagen om Total Sannolikhet låter dig skriva sannolikheten
$Prob(Z = z) = Prob(X+Y=z) = \sum_{x}Prob(X+Y = z \text{ och } X = x ) = \sum_{x}Prob(Y = z-x \text{ och } X = x)$ .
Om man tar hänsyn till att det är kontinuerliga stokastiska variabler så blir den motsvarande formuleringen för täthetsfunktionerna
$f_{Z}(z) = \int_{x} f_{X,Y}(x,z-x)\text{d}x.$
Albiki

Hej,

Tyvärr hjälpte inte det mig. Jag vill ha härledningen, att man gör så i det diskreta fallet och jag fattar tillämpningen i det kontinuerliga fallet, men det härleder inte det kontinuerliga fallet.

MOOO skrev :
Hej,

Kanske lite otydlig rubrik men jag tänker som följer:
X och Y är kontinuerliga slumpvariabler och Z = X + Y. Jag förstår att man använder Y = Z - X men hur kommer man exakt fram till att:
$f_{z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y} (x, z - x) d x$
Jag behöver alltså hjälp med härledning av detta.

Du bildar den nya s.v. Z = X+Y och vill beräkna $f_{Z} (z)$ vanligt är att notera att $f_{z} (z) = \frac{d F_{z} (z)}{d z}$ där $F_{z} (z) = P [Z < = z]$ således $P [Z < = z] = P [X + Y < = z] = P [X < = z - Y]$ ställer du upp den integral som motsvarar detta och genomför deriveringen m.h.a. Liebnitz regel så borde du få det resultat du letar efter. Det går också att bevisa med hjälp av sannolikhetsgenererande funktioner om du har tillgång till sådana.

pethaf skrev :
MOOO skrev :
Hej,

Kanske lite otydlig rubrik men jag tänker som följer:
X och Y är kontinuerliga slumpvariabler och Z = X + Y. Jag förstår att man använder Y = Z - X men hur kommer man exakt fram till att:
$f_{z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y} (x, z - x) d x$
Jag behöver alltså hjälp med härledning av detta.
Du bildar den nya s.v. Z = X+Y och vill beräkna $f_{Z} (z)$ vanligt är att notera att $f_{z} (z) = \frac{d F_{z} (z)}{d z}$ där $F_{z} (z) = P [Z < = z]$ således $P [Z < = z] = P [X + Y < = z] = P [X < = z - Y]$ ställer du upp den integral som motsvarar detta och genomför deriveringen m.h.a. Liebnitz regel så borde du få det resultat du letar efter.

Det är just hjälp med att ställa upp den generella integralen och derivera innanför integraltecknet som jag behöver.

Svara

Visa senaste svar