Härledning till formeln för doppler effekt

Hej Eric,

Vi börjar med det enklaste fallet, en ljudkälla rör sig mot en observatör genom ett medium där ljudets hastighet är $v_s$. Notera att jag använder lite andra beteckningar än de du har valt eftersom index s står för sound och inte source i de flesta tillämpningar. Källans hastighet kallar jag $v_k$ och dess frekvens kallar jag $f_k$

Det som avgör vilken frekvens observatören (örat) uppfattar är hur lång tid $T$ observatören upplever att det är mellan varje vågfront.

Eftersom vi vet att vågfronterna rör sig med hastigheten $v_s$ förstår vi att $T=\frac{L}{v_s}$.

Frågan är hur långt $L$ det är mellan vågtopparna?.

Om källan sänder ut en första vågfront vid tiden $t_0$ och nästa vågfront vid tiden $t_1$ ska $t_1-t_0=\frac{1}{f_k}$. Källan har därför hunnit förflytta sig sträckan $v_k\cdot(t_1-t_0)=\frac{v_k}{f_k}$. Den första vågfronten har förflyttat sig sträckan $v_s\cdot(t_1-t_0)=\frac{v_s}{f_k}$.

Alltså är avståndet $L=\frac{v_s}{f_k}-\frac{v_k}{f_k}$. Frekvensen som observatören uppfattar, dvs $\frac{1}{T}$ blir därför

$f_o=\frac{1}{T}=\frac{v_s}{L}=\frac{v_s}{\frac{v_s}{f_k}-\frac{v_k}{f_k}}$

Förlänger vi med $f_k$ får vi

$f_o=f_k\frac{v_s}{v_s-v_k}$.

Situationen då det istället är observatören som rör sig mot ljudkällan blir inte symmetrisk, men det går att räkna på nästan samma sätt. Det viktiga är att räkna ut tiden $T$ som observatören upplever mellan varje vågfront han stöter på.

Klarar du att räkna ut situationen för detta fall?

Orsaken till asymmetrin är att ljudets hastighet kan relateras till  mediet. Vi kan därmed avgöra om det är källan eller observatören som rör sig. Detta är inte fallet när man studerar ljus eftersom det skulle tillåta oss att räkna ut vilket inertialsystem som är i vila.

Men knepet för att räkna ut dopplereffekten för ljus är densamma, ta reda på tiden $T$ som en observatör upplever mellan två vågtoppar.