Härledning för Periodtiden till en matematisk pendel

Fr=-mgsin(y/l): Förstår du allt som står före den formeln?

y”+g/ly = 0: (jag satte in ett likhetstecken) Det är inte den ekvationen som saknar exakt lösning, det är den med sinus i. Saknar exakt lösning betyder att lösningen inte kan uttryckas med de elementära funktioner som du känner till: exponentialfunktion, logaritmer, trigonometriska.

Har du lärt dig vad en differentialekvation är? Det är inte alla andra ordningens icke-linjära diffekvationer som har en exakt lösning, och detta är en av dem som saknar det.

Amplituden är hur långt ut åt sidan som pendeln rör sig.

- Amplituden är maximala utslaget på cirkelbågens längd, $y_{max}$. 

- Differentialekvationen går inte att lösa analytiskt (altså den med sinusfunktionen. Därför förenklas den istället). Dvs pendelrörelsen vid större amplituder kommer inte att kunna beskrivas av en matematisk funktion (men naturligtvis kan man beskriva den på annat sätt).

- $F_R$ är kraften som vill återföra pendeln mot jämviktsläget y=0. (Jämför med fjäderkraft som vill återföra massan till y=0 i en fjäderpendel). Det är tyngdkraftens komposant i y-ledd (där y-ledden är tangenten till cirkelbågen, så den ledden varierar med pendelns position, speciellt vid stora utslag).

JohanF skrev:

- Amplituden är maximala utslaget på cirkelbågens längd, $y_{max}$. 

- Differentialekvationen går inte att lösa analytiskt (altså den med sinusfunktionen. Därför förenklas den istället). Dvs pendelrörelsen vid större amplituder kommer inte att kunna beskrivas av en matematisk funktion (men naturligtvis kan man beskriva den på annat sätt).

- $F_R$ är kraften som vill återföra pendeln mot jämviktsläget y=0. (Jämför med fjäderkraft som vill återföra massan till y=0 i en fjäderpendel). Det är tyngdkraftens komposant i y-ledd (där y-ledden är tangenten till cirkelbågen, så den ledden varierar med pendelns position, speciellt vid stora utslag).

Vad menar du med att "Dvs pendelrörelsen vid större amplituder kommer inte att kunna beskrivas av en..."? Okej jag förstår med varför Fr=-mgsin(y/l) fast varför blir den negativ? 

- Pendelrörelsen kommer att beskrivas av lösningen till $y"+g·\sin \left(\frac{y}{l}\right)=0$, för både små och stora amplituder. Men eftersom differentialekvationen inte går att lösa analytiskt så går det heller inte att få ett snyggt uttryck för svängningstiden för den (vilket är hela vitsen med härledningen, att få fram ett uttryck för svängningstiden). Istället nöjer man sig med att kunna beskriva svängningen vid små amplituder, där $\sin \left(\frac{y}{l}\right)\approx \frac{y}{l}$, och man kan beräkna ett snyggt uttryck för svängningstiden. Vilket får konsekvensen att för större amplituder på svängningen kommer svängningstidsuttrycket att stämma sämre och sämre (eftersom approximationen man gjort efter vägs  stämmer sämre och sämre med verkligheten)  

- Kraften har ett minustecken därför att den är motriktad elongationen, dvs kraften vill alltid jobba tillbaka mot jämviktsläget. Ifall det istället hade varit ett plustecken, är detsamma som om föremålet hade utsatts för en kraft som hela tiden strävar efter att öka elongationen, till på köpet ökande kraft desto större elongation. Vilket man kan tänka sig skulle ge en elongation som växer obegränsat och urartar. Och mycket riktigt, differentialekvationen $y\text{'}\text{'}-g·\frac{y}{l}=0$ ger lösningar som har formen av exponentialfunktioner. 

JohanF skrev:

- Pendelrörelsen kommer att beskrivas av lösningen till $y"+g·\sin \left(\frac{y}{l}\right)=0$, för både små och stora amplituder. Men eftersom differentialekvationen inte går att lösa analytiskt så går det heller inte att få ett snyggt uttryck för svängningstiden för den (vilket är hela vitsen med härledningen, att få fram ett uttryck för svängningstiden). Istället nöjer man sig med att kunna beskriva svängningen vid små amplituder, där $\sin \left(\frac{y}{l}\right)\approx \frac{y}{l}$, och man kan beräkna ett snyggt uttryck för svängningstiden. Vilket får konsekvensen att för större amplituder på svängningen kommer svängningstidsuttrycket att stämma sämre och sämre (eftersom approximationen man gjort efter vägs  stämmer sämre och sämre med verkligheten)  

- Kraften har ett minustecken därför att den är motriktad elongationen, dvs kraften vill alltid jobba tillbaka mot jämviktsläget. Ifall det istället hade varit ett plustecken, är detsamma som om föremålet hade utsatts för en kraft som hela tiden strävar efter att öka elongationen, till på köpet ökande kraft desto större elongation. Vilket man kan tänka sig skulle ge en elongation som växer obegränsat och urartar. Och mycket riktigt, differentialekvationen $y\text{'}\text{'}-g·\frac{y}{l}=0$ ger lösningar som har formen av exponentialfunktioner. 

Fast är inte Amplituden den konstanten framför sinus i detta fallet har ju inte sinus någon konstant? 

Jo, du har rätt. Men målet med bokens härledning var att komma fram till ett uttryck för svängningstiden för en matematisk pendel, vilket boken gjorde genom att konstatera att rörelsen för både en fjäderpendel och en matematisk pendel beskrivs av samma typ av differentialekvation. Och därmed drog slutsatsen ur analogin att svängningstiden kan beräknas på samma sätt som för fjäderpendeln (bara en skillnad i några konstanter). Alltså, boken hoppade helt över att nämna att rörelsen (vid små amplituder) kan beskrivas av ekvationen $y\left(t\right)=A\sin \left(\sqrt{\frac{g}{l}}·t\right)$ (jfr fjäderpendeln). Där A (amplituden) ges av hur mycket man drar ut den matematiska pendeln när man startar den, på samma sätt som man drar ut fjäderpendeln när man startar den.

Så diffekvationen för pendeln hade även kunnat skrivas med en Amplitud precis som för svängningstiden för en harmonisk svängning då slutresultatet är detsamma?

Diffekvationen beskriver inte vilken amplitud svängningen får. Diffekvationen bestämmer svängningstiden. Amplituden bestäms av de så kallade randvillkoren till diffekvationen (tex att man startar svängningen genom att dra ut den från jämviktsläget en viss sträcka, och sedan släppa den.

Så, rörelsen (dvs LÖSNINGEN på diffekvationen) kan beskrivas som en sinusfunktion med viss amplitud i båda fallen)