Härledning derivata till y=ln kx -> y'=k/kx

Hej!

Du kan exempelvis använda implicit derivering om du är noga med definitionsmängderna. $y=\ln{x} \implies e^y=x$.

Moffen skrev:

Hej!

Du kan exempelvis använda implicit derivering om du är noga med definitionsmängderna. $y=\ln{x} \implies e^y=x$.

Kan du beskriva mer konkret hur jag kan göra detta? Lyckas själv inte komma fram till något

Låt $y=y\left(x\right)$ vara en funktion av $x$, mer specifikt $y\left(x\right)=\ln{x}$, $y: \left(0,\infty\right)\to\mathbb{R}$.

$\displaystyle e^{y\left(x\right)}=x \implies \dfrac{d}{dx}e^{y\left(x\right)}=\frac{d}{dx}x \implies ...$.

Använd nu kedjeregeln och derivera. Sen klarar du nog av att göra detsamma för $h\left(x\right)=\ln{\left(kx\right)}$.

Moffen skrev:

Låt $y=y\left(x\right)$ vara en funktion av $x$, mer specifikt $y\left(x\right)=\ln{x}$, $y: \left(0,\infty\right)\to\mathbb{R}$.

$\displaystyle e^{y\left(x\right)}=x \implies \dfrac{d}{dx}e^{y\left(x\right)}=\frac{d}{dx}x \implies ...$.

Använd nu kedjeregeln och derivera. Sen klarar du nog av att göra detsamma för $h\left(x\right)=\ln{\left(kx\right)}$.

Tack så mycket för hjälpen! Nu blev det allt klarare i huvudet :)

När vi deriverar med koefficient så följer koefficienten bara med. Så d/dx ( ln kx) blir bara 1/kx. Då detta är en sammansatt funktion måste vi även multiplicera med derivatan av den inre funktionen vilket kommer till att bli bara k då x deriveras bort. Om vi multiplicerar yttre derivatan som vi tidigare kom fram till med den inre så kan vi istället placera in faktorn i täljaren. 

Oscar Jörke Hellberg skrev:

När vi deriverar med koefficient så följer koefficienten bara med. Så d/dx ( ln kx) blir bara 1/kx. Då detta är en sammansatt funktion måste vi även multiplicera med derivatan av den inre funktionen vilket kommer till att bli bara k då x deriveras bort. Om vi multiplicerar yttre derivatan som vi tidigare kom fram till med den inre så kan vi istället placera in faktorn i täljaren. 

Fast du kan inte bara skriva att d/dx(ln(kx))=1/kx, det blir fel. Bättre om du skriver d/dx(ln(x)) beräknad i punkten kx (vilket verkar vara vad du vill säga?).