Härledning DE Sammansatt reaktion

En bra strategi är att kolla hur derivatan är definierad. Vi kollar på hur koncentrationen av intermediatet $I$ förändras med tiden. Alltså måste vi försöka ersätta $[A]$ med något uttryck som istället innehåller $\left[I\right]$ för att göra livet lite enklare med färre variabler.

Du har redan bestämt ett uttryck för $[A]$ i första uppgiften. Ersätt $[A]$ med detta uttryck istället och försök att lösa differentialekvationen.

Extra hint: Om du behöver hjälp att lösa ekvationen så kan du repetera detta.

Teraeagle skrev:

En bra strategi är att kolla hur derivatan är definierad. Vi kollar på hur koncentrationen av intermediatet $I$ förändras med tiden. Alltså måste vi försöka ersätta $[A]$ med något uttryck som istället innehåller $\left[I\right]$ för att göra livet lite enklare med färre variabler.

Du har redan bestämt ett uttryck för $[A]$ i första uppgiften. Ersätt $[A]$ med detta uttryck istället och försök att lösa differentialekvationen.

Extra hint: Om du behöver hjälp att lösa ekvationen så kan du repetera detta.

 Jag behöver inte lösa dem egentligen, använder Matlab för det isf. Men måste på något sätt visa att lösningarna till DE:erna fås av de översta ekvationerna

Vet du hur man löser en linjär homogen diffek vation linjär inhomogen diffekvation?

Teraeagle skrev:

Vet du hur man löser en linjär homogen diffek vation?

 Ja. Det leder mig inte till samma sak dock, samt att det står i uppgiften att jag inte ens ska behöva lösa själva DE:erna

Så vad är det du behöver hjälp med? Som jag förstod det är uppgiften att härleda sambanden, vilket kräver att du löser DE:erna. Det har du också gjort i uppg 1 och det måste du göra även i de andra två uppgifterna. Man kan självklart använda Matlab till det, men det är inte nödvändigt i den här typen av uppgift. Om man däremot har flera parallella reaktioner eller liknande så är det en helt annan sak och då skulle jag också göra det i Matlab.

Jag måste räkna jättefel då för det jag får om jag löser DE för [I] är:

$\frac{k_1}{k_2}+C{e}^{-k_{2}t}$

Kan du visa hur du har räknat? Jag fick samma svar som facit när jag räknade.

Jag insåg att jag missat en grej så räknade om allt, men fick ändå långt ifrån rätt.

$$\begin{gathered} \frac{d\left[I\right]}{dt}=k_1\left[A\right]-k_2\left[I\right] \iff \frac{{\displaystyle d\left[I\right]}}{{\displaystyle dt}}+k_2\left[I\right]=k_1\left[A\right] \\ \_\_ \\ Homogen: \frac{{\displaystyle d\left[I\right]}}{{\displaystyle dt}}+k_2\left[I\right] = 0 \\ q\left(t\right) = k_2 \\ Allmän lösning: I\hspace{0.17em}= C*e^{-q\left(t\right)t }\Rightarrow I=C{e}^{-k_{2}t} \\ \_\_ \\ Partikulär \\ Antar: I = a \\ I\text{'} = 0 \\ Insättning i VL ger 0+a{k}_2 \\ VL=HL \iff a{k}_2 =k_1\left[A\right] \iff a=\frac{k_1}{k_2}\left[A\right] \\ \_\_ \\ Allmän ihop med partikulära \\ I = C{e}^{-k_{2}t}+\frac{k_1}{k_2}\left[A\right] \end{gathered}$$

Felet du gör är att du antar att högerledet är en konstant när det i själva verket beror av t. Gör som jag skrev i mitt första inlägg och ersätt [A] med din lösning i första uppgiften så kommer du att se det lättare. Då måste du göra en annan ansats. Sen har du kallat din homogena lösning för allmän lösning, men det är bara en detalj.

Hamnade mycket närmre nu. Men kanske fortfarande gör fel ansats - $a{e}^{-k_{1}t}$ ?

Har nu istället fått:

$I = \frac{{\left[A\right]}_0}{k_2-k_1}{e}^{-k_{1}t}+C{e}^{-k_{2}t}$

En bättre ansats, mem du har fortfarande inte ersatt [A] med uttrycket från första uppgiften. 

Tror jag missuppfattar vilket [A] du menar.

I VL har jag inget [A] så den homogena lösningen borde ju vara samma?

I HL baserade jag nya ansatsen på att byta ut $k_1\left[A\right]$ såhär:

$\left(\right[A{]}_t=\left[A{]}_0{e}^{(-k1t)}\right)k_1 \Rightarrow k_1{\left[A\right]}_0{e}^{(-k_{1}t)}$

Såg att jag missat ett k i mitt tidigare svar. -> ($\frac{k_1{\left[A\right]}_0}{k_2-k_1}$......)

Syftar du på ett annat [A]?

Hmm, misstänker att jag hann se ditt senaste inlägg innan det redigerades, för jag har för mig att det stod $[A]$ istället för $[A]_0$ i täljaren. Möjligtvis såg jag fel.

Nu verkar du i alla fall ha tagit fram rätt ekvation, bra. Nästa steg är att bestämma C. Det kan du göra eftersom du känner till att det måste gälla att $[I]=0$ då $t=0$. Vi kan inte ha bildat ämnet innan reaktionen har hunnit starta. Sätt in detta som ett begynnelsevillkor och bestäm C.

Tack så hemskt mycket för din hjälp och ditt tålamod! Jag förstod och löste det.

Angående sista antar jag att jag bör använda samma teknik. Byta ut [I] mot det jag nyss fått fram, och samma begynnelsevillkor?

Ja, exakt.

Med $k_2\left[I\right]= \frac{k_1{k}_2}{k_2-k_1}(e^{(-k_{1}t)}-e^{(-k_{2}t)}){\left[A\right]}_0$

och ansatsen: $a\frac{k_1{k}_2}{k_2-k_1}(e^{(-k_{1}t)}-e^{(-k_{2}t)})$

...får jag 0 = 0 när jag provar begynnelsevillkoret hur jag än vänder på det. Misstänker att det ovan är fel, men jag tänkte likadant som i förra DE:en. 

Visa mer exakt hur du räknar, annars är det väldigt svårt att se vad du gör fel. Ifall du tycker att det blir för krångligt att använda LaTeX kan du ta en bild på uträkningarna och ladda upp istället.

$$\begin{gathered} \frac{d\left[P\right]}{dt}=k_2\left[I\right]=\frac{{\displaystyle k_1{k}_2}}{{\displaystyle k_2-k_1}}(e^{(-k_{1}t)}-e^{(-k_{2}t)}){\left[A\right]}_0 \\ Min ansats: P = a \frac{{\displaystyle k_1{k}_2}}{{\displaystyle k_2-k_1}}(e^{(-k_{1}t)}-e^{(-k_{2}t)}) \\ P\text{'}=-a\frac{{\displaystyle {k_1}^2{k}_2}}{{\displaystyle k_2-k_1}}{e}^{(-k_{1}t)}+a\frac{{\displaystyle k_1{k_2}^2}}{{\displaystyle k_2-k_1}}{e}^{(-k_{2}t)} \\ Insättning i VL: \\ -a\frac{{\displaystyle {k_1}^2{k}_2}}{{\displaystyle k_2-k_1}}{e}^{(-k_{1}t)}+a\frac{{\displaystyle k_1{k_2}^2}}{{\displaystyle k_2-k_1}}{e}^{(-k_{2}t)} = \frac{{\displaystyle k_1{k}_2}}{{\displaystyle k_2-k_1}}(e^{(-k_{1}t)}-e^{(-k_{2}t)}){\left[A\right]}_0 \\ \iff \\ a\frac{k_1{k}_2}{k_2-k_1}(k_2{e}^{(-k_{2}t)}-k_1{e}^{(-k_{1}t)}) =\frac{{\displaystyle k_1{k}_2}}{{\displaystyle k_2-k_1}}(e^{(-k_{1}t)}-e^{(-k_{2}t)}){\left[A\right]}_0 \\ \iff \\ a = \frac{{\displaystyle (e^{(-k_{1}t)}-e^{(-k_{2}t)})}}{(k_2{e}^{(-k_{2}t)}-k_1{e}^{(-k_{1}t)})}{\left[A\right]}_0 \end{gathered}$$

Jag tror att vi har gjort uppgiften onödigt krånglig nu. Låt oss vara kemister istället för matematiker. Vi vet ju att det som var A från början och sedan varken är A eller I istället måste vara P. Eftersom vi också vet att molförhållandet är 1:1:1 kan vi skriva:

$[A]_0=[A]+[I]+[P]$

Du har redan bestämt uttryck för de två första termerna i högerledet. Lös ut $[P]$ och sätt in dessa uttryck i ekvationen. Klart!

Wow. Så enkelt det kunde bli, haha. Återigen, tack!