Härledning av trigonometriska standardgränsvärden

Hej!

Det finns ett antal standardgränsvärden:

$\lim_{x \to 0} \frac{ \sin{x} }{x} = 1$
$\lim_{x \to 0} \frac{ 1 - \cos{x} }{x} = 0$
$\lim_{x \to 0} \frac{\tan{x}}{x} = 1$

Hur härleder jag dessa gränsvärden? Jag hittar inget i boken som vi använder.

Satsen med det bästa namnet.

Smaragdalena skrev:
Satsen med det bästa namnet.

Tack, då hänger jag med på det första gränsvärdet. Använder man detta för att då bevisa $\lim_{x \to 0} \frac{\tan{x}}{x} = 1$ genom $\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x} = 1 \Rightarrow \lim_{x \to 0} \frac{\tan{x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x\cos{x}} = 1$ , eller tänker jag fel här?

Hur använder jag instängningssatsen för att bevisa $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos{x}}{x} = 0$ ?

Jag skulle föreslå en förlängning:

$\dfrac{1-\cos x}{x}=\dfrac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{x(1+\cos x)}=\dfrac{1-\cos ^2 x}{x(1+\cos x)}$

Fortsätter du på egen hand?

Svara

Visa senaste svar