Hur kommer man fram till täthetsfunktionen för normalfördelning

Det är inget man härleder, den är definierad så.

Ok, det jag menade med min frågeställning var att när Abraham de Moivre kom fram med formeln ovan var han tvungen att försäkra sig om att böjningspunkterna var exakt en standardavvikelse bort från mitten och att den var klockformad, liksom att området under kurvan var exakt lika med en. Och på något sätt kom han fram till ovanstående formel. Hur gjorde han det?

Det finns ingenting som heter "böjningspunkter". Det finns ingenting speciellt med de punkter som ligger en standardavvikelse bort från medelvärdet.

Han var inte tvungen att försäkra sig om att kurvan är klockformad.

Normeringsfaktorn $\frac{1}{\sigma \sqrt{2\mathrm{\pi }}}$ är vald så att arean blir 1.

Du kan (från vilken fördelning som helst) beräkna standardavvikelsen. Vet du hur man gör det? Från fördelningen ovan kan man visa att standardavvikelsen är lika med sigma. 

Detta kanske är av intresse: https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution#History