Härledning av kraft i en mekanisk våg

Till härledningen nedan har jag två frågor.

Första frågan gäller formeln för F_y (ekvation (3.2)). Känns lite oklart hur vi i den näst sista likheten har en förstaderivata i täljaren och i nästa likheten en andraderivata. Ska man helt enkelt tänka att man multiplicerar nämnaren med dx och därför får vi en andraderivata

Andra frågan är hur vi får fram formeln (3.3), mer specifikt hur $\frac{\partial ^2 S}{\partial x^2}$ försvinner. Jag har försökt förenkla formel (3.2) för att komma fram och har kommit såpass:
$F_y=F\cdot dx \cdot \frac{\partial ^2 S}{\partial x^2}=ma \cdot dx \cdot \frac{\partial ^2 S}{\partial x^2}=\rho \cdot dx \cdot \frac{\partial ^2 S}{\partial t^2} \cdot dx \cdot \frac{\partial ^2 S}{\partial x^2}=\rho\cdot \frac{\partial ^2 S}{\partial t^2} \cdot \left( dx \right) ^2 \cdot \frac{\partial ^2 S}{\partial x^2}$,

tror det är lite samma problem som jag hade i första frågan, vet inte hur jag ska hantera (dx)² och $\frac{\partial ^2 S}{\partial x^2}$