Härledning av gränsvärde som blir till e

Beror på hur du definierar e. I den mest introduktionslitteratur så definierar man e genom det där gränsvärdet och då finns det inget att bevisa. 

Sedan kan e definieras på andra vis och då är det en fråga om hur detta gränsvärde hänger ihop med denna andra definition men man hittar lite utläggningar om det om man kollar på wikipediasidorna eller googlar.. 

Den naturliga logaritmfunktionen definieras som integralen

    $\ln x = \int_{1}^{x}\frac{1}{u}\,du \ , \quad x>0$

och basen till den naturliga logaritmfunktionen är det unika tal (betecknat $e$ för att ära Leonhard Euler) som är sådant att $\ln e = 1$.

Du vill visa att talet $n\cdot \ln(1+\frac{1}{n})$ närmar sig talet $1$ när det positiva talet $n$ växer.

    $\displaystyle n \cdot \int_{1}^{1+\frac{1}{n}}\frac{1}{u}\,du \to 1 \ , \quad n \to \infty.$

När $u\geq 1$ så är funktionen $1/u$ strängt avtagande vilket medför att

    $\frac{1}{1+\frac{1}{n}} \leq \frac{1}{u} \leq 1$ när $1 \leq u \leq 1+\frac{1}{n}.$

Det får som konsekvens att integralen ligger mellan följande två tal.

    $\displaystyle n \cdot \int_{1}^{1+\frac{1}{n}}\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\,du \leq n \cdot \int_{1}^{1+\frac{1}{n}}\frac{1}{u}\,du \leq n \cdot \int_{1}^{1+\frac{1}{n}}1\,du\iff \frac{1}{1+\frac{1}{n}}\leq n\cdot \int_{1}^{1+\frac{1}{n}}\frac{1}{u}\,du\leq 1.$