Härledning av derivatan till lnx

MattePapput skrev :

$$\begin{gathered} Hej, jag undrar om någon skulle kunna visa mig hur deriva\tan till\mathbf{ }\mathbf{ln}\mathit{x}\mathbf{ }härleds \\ på ett lättförståeligt sätt. Jag vet att deriva\tan till\mathbf{ }\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{ln}\mathit{x}\mathbf{ }är\mathbf{ }\mathit{y}\mathbf{\text{'}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{x}}\mathbf{\text{'}} \\ Men det är inte lika lätt att klura ut vad deriva\tan är om det står\mathbf{ }\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{ln}{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}. Ja då \\ är deriva\tan \mathbf{ }\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{x}}\mathbf{ }Jag vill veta hur jag gör istället för att memorera. \\ \mathit{T}\mathit{a}\mathit{c}\mathit{k}\mathbf{.} \end{gathered}$$

Är du bekant med kedjeregeln? 

pethaf skrev :

MattePapput skrev :

$$\begin{gathered} Hej, jag undrar om någon skulle kunna visa mig hur deriva\tan till\mathbf{ }\mathbf{ln}\mathit{x}\mathbf{ }härleds \\ på ett lättförståeligt sätt. Jag vet att deriva\tan till\mathbf{ }\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{ln}\mathit{x}\mathbf{ }är\mathbf{ }\mathit{y}\mathbf{\text{'}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{x}}\mathbf{\text{'}} \\ Men det är inte lika lätt att klura ut vad deriva\tan är om det står\mathbf{ }\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{ln}{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}. Ja då \\ är deriva\tan \mathbf{ }\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{x}}\mathbf{ }Jag vill veta hur jag gör istället för att memorera. \\ \mathit{T}\mathit{a}\mathit{c}\mathit{k}\mathbf{.} \end{gathered}$$

Är du bekant med kedjeregeln? 

Jadå.

Bra. Kedjeregeln går ju ut på att om y är en funktion av z, som i sin tur är en funktion av x, så är derivatan dy/dx = dy/dz*dz/dx. I det här fallet kan du sätta y = ln z, och z = x^2.

Eller så kan du först skriva om med logaritmlagen för potens.

ln(x^a) = ... 

HT-Borås skrev :

Bra. Kedjeregeln går ju ut på att om y är en funktion av z, som i sin tur är en funktion av x, så är derivatan dy/dx = dy/dz*dz/dx. I det här fallet kan du sätta y = ln z, och z = x^2.

Förstår inte riktigt vad du vill komma fram till, ja. innre derivata multiplicerat med yttre. det är inte direkt en härledning vad jag kan se iallafall. 

Dr. G skrev :

Eller så kan du först skriva om med logaritmlagen för potens.

ln(x^a) = ... 

Vet inte riktigt hur du menar nu. 

I denna fråga så kommer man "fastna" i hur man definierar logaritmen. Men om vi säger att vi vet att

$\frac{d}{dx} e^x = e^x$

och vi definierar $\ln$ som inversen till $e^x$. Då har vi att om

$f(x) = \ln(x)$

så är

$e^{f(x)} = x$

Deriverar vi nu båda sidorna och använder kedjeregeln på VL så får man att

$e^{f(x)}f'(x) = 1$

Eftersom nu $e^{f(x)} = e^{\ln(x)} = x$ så får man alltså att

$xf'(x) = 1$

$f'(x) = \frac{1}{x}$

Så alltså är

$\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}$.

Ska du härleda derivatan för ln x bör du ta det via definitionen för den:

Om du anser att du vet derivatan för exponentialfunktionen e^x, kan du också utgå från den.

Stokastisk skrev :

I denna fråga så kommer man "fastna" i hur man definierar logaritmen. Men om vi säger att vi vet att

$\frac{d}{dx} e^x = e^x$

och vi definierar $\ln$ som inversen till $e^x$. Då har vi att om

$f(x) = \ln(x)$

så är

$e^{f(x)} = x$

Deriverar vi nu båda sidorna och använder kedjeregeln på VL så får man att

$e^{f(x)}f'(x) = 1$

Eftersom nu $e^{f(x)} = e^{\ln(x)} = x$ så får man alltså att

$xf'(x) = 1$

$f'(x) = \frac{1}{x}$

Så alltså är

$\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}$.

$$\begin{gathered} \mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{ln}\mathit{x} \\ {\mathit{e}}^{\mathbf{y}}\mathbf{=}\mathit{x} \\ \mathit{y}\mathbf{\text{'}}{\mathit{e}}^{\mathbf{y}}\mathbf{=}\mathbf{1} \\ {\mathit{e}}^{\mathbf{y}}\mathbf{=}\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{\Rightarrow }\mathit{y}\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{1} \\ \mathit{y}\mathbf{\text{'}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{x}} \\ \mathit{S}\mathit{å}\mathbf{?}\mathbf{ }\mathit{f}\mathit{ö}\mathit{r}\mathit{s}\mathit{t}\mathit{å}\mathit{r}\mathbf{ }\mathit{i}\mathit{n}\mathit{t}\mathit{e}\mathbf{ }\mathit{v}\mathit{a}\mathit{d}\mathbf{ }\frac{\mathbf{d}}{\mathbf{d}\mathbf{x}}\mathit{b}\mathit{e}\mathit{t}\mathit{y}\mathit{d}\mathit{e}\mathit{r}\mathbf{?}\mathbf{ } \end{gathered}$$

Ja, precis så.

d/dx kan du läsa som att det står "derivatan av". Det är bara ett av flera sätt att beteckna derivatan helt enkelt.

HT-Borås skrev :

Ska du härleda derivatan för ln x bör du ta det via definitionen för den:

Om du anser att du vet derivatan för exponentialfunktionen e^x, kan du också utgå från den.

hmm, jaa derivatans definition funkar också. Känns väldigt krånglig. du drar isär bråket först. 

Stokastisk skrev :

Ja, precis så.

d/dx kan du läsa som att det står "derivatan av". Det är bara ett av flera sätt att beteckna derivatan helt enkelt.

Okej men alltså man deriverar HL och VL och det är okej? Om HL=VL så MÅSTE derivatan av HL och VL också vara lika? right? som att det skulle stå x=x tillexempel och då måste 1=1 om man deriverar HL och VL

Ja det är okej att derivera båda sidorna på det sättet, men bara om likheten råder för alla x.

Exempelvis så kan vi ju ha ekvationen

x + 3 = 2

Här gäller likheten enbart för ett enda x, så då kan vi inte derivera det, men om vi har att

sin(x) = cos(pi/2 - x)

så har vi ju att denna likhet gäller för alla x och därför kan vi derivera båda sidorna.

Stokastisk skrev :

Ja det är okej att derivera båda sidorna på det sättet, men bara om likheten råder för alla x.

Exempelvis så kan vi ju ha ekvationen

x + 3 = 2

Här gäller likheten enbart för ett enda x, så då kan vi inte derivera det, men om vi har att

sin(x) = cos(pi/2 - x)

så har vi ju att denna likhet gäller för alla x och därför kan vi derivera båda sidorna.

hmm aa okej. Men jag menade mer typ, det fungerar på alla funktioner som $\mathit{y}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{ln}\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{sin}\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{cos}\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{+}\frac{{\mathbf{x}}^{\mathbf{18}}}{\mathbf{sin}\mathbf{x}}$    Då kan man derivera vänsterledet och högerledet?? Om man deriverar VL så blir väl det 1 ? eller? 

Nja, om du har funktionen

$y = \ln(x) + \sin(x) + \cos(x) + \frac{x^{18}}{\sin(x)}$

och deriverar VL så kommer du bara få $y'$, du kommer inte få 1. Hade VL varit x och du deriverade det så hade du fått 1, men då hade ju inte likheten stämt.

Nej, om du deriverar funktionen y(x) så blir det y'(x).

Stokastisk skrev :

Nja, om du har funktionen

$y = \ln(x) + \sin(x) + \cos(x) + \frac{x^{18}}{\sin(x)}$

och deriverar VL så kommer du bara få $y'$, du kommer inte få 1. Hade VL varit x och du deriverade det så hade du fått 1, men då hade ju inte likheten stämt.

Ja, just förstås. Okej om vi gör såhär då. $$\begin{gathered} \mathit{y}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{ln}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{+}\mathbf{sin}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{+}\mathbf{cos}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{+}\frac{{\mathbf{x}}^{\mathbf{18}}}{\mathbf{sin}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}} \\ {\mathit{e}}^{\mathbf{y}}\mathbf{=}\mathit{x}\mathbf{+}{\mathit{e}}^{\mathbf{sin}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}}\mathbf{+}{\mathit{e}}^{\mathbf{cos}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}}\mathbf{+}{\mathit{e}}^{\frac{{\mathbf{x}}^{\mathbf{18}}}{\mathbf{sin}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}}} \\ \mathit{y}\mathbf{\text{'}}{\mathit{e}}^{\mathbf{y}}\mathbf{=}\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{cos}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}{\mathit{e}}^{\mathbf{sin}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}}\mathbf{-}\mathbf{sin}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}{\mathit{e}}^{\mathbf{cos}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}}\mathbf{+}\mathit{D}\mathbf{\left(}{\mathit{e}}^{\frac{{\mathbf{x}}^{\mathbf{18}}}{\mathbf{sin}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}}}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathbf{<}\mathbf{-}\mathbf{ }\mathit{o}\mathit{r}\mathit{k}\mathit{a}\mathit{r}\mathbf{ }\mathit{i}\mathit{n}\mathit{t}\mathit{e}\mathbf{ }\mathit{d}\mathit{e}\mathit{r}\mathit{i}\mathit{v}\mathit{e}\mathit{r}\mathit{a}\mathbf{ }\mathit{d}\mathit{e}\mathit{n}\mathbf{ }\mathit{s}\mathit{i}\mathit{s}\mathit{t}\mathit{a}\mathbf{ } \\ \mathit{m}\mathit{e}\mathit{n}\mathbf{ }\mathit{j}\mathit{a}\mathit{g}\mathbf{ }\mathit{v}\mathit{e}\mathit{t}\mathbf{ }\mathit{a}\mathit{t}\mathit{t}\mathbf{ }\mathit{d}\mathit{e}\mathit{t}\mathbf{ }\mathit{s}\mathit{k}\mathit{a}\mathbf{ }\mathit{v}\mathit{a}\mathit{r}\mathit{a}\mathbf{ }\mathit{k}\mathit{v}\mathit{o}\mathit{t}\mathit{r}\mathit{e}\mathit{g}\mathit{e}\mathbf{ln}\mathbf{.}\mathbf{ }\frac{\mathbf{(}\mathbf{f}\mathbf{\text{'}}\mathbf{·}\mathbf{g}\mathbf{)}\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{g}\mathbf{\text{'}}\mathbf{·}\mathbf{f}\mathbf{)}}{{\mathbf{g}}^{\mathbf{2}}} \end{gathered}$$
Stämmer det då? 

Det stämmer inte helt. När du höjer upp HL så får man så här

$$\begin{gathered} e^{\ln \left(x\right)\hspace{0.17em}+ \sin \left(x\right)\hspace{0.17em}+ \cos \left(x\right)\hspace{0.17em}+ \frac{x^{18}}{\sin \left(x\right)}} \\ = x · e^{\sin \left(x\right)}·e^{\cos \left(x\right)}·e^{\frac{x^{18}}{\sin \left(x\right)}} \end{gathered}$$

Sedan får man ta och beräkna denna derivata, och det blir ju ganska jobbig att beräkna.

Stokastisk skrev :

Det stämmer inte helt. När du höjer upp HL så får man så här

$$\begin{gathered} e^{\ln \left(x\right)\hspace{0.17em}+ \sin \left(x\right)\hspace{0.17em}+ \cos \left(x\right)\hspace{0.17em}+ \frac{x^{18}}{\sin \left(x\right)}} \\ = x · e^{\sin \left(x\right)}·e^{\cos \left(x\right)}·e^{\frac{x^{18}}{\sin \left(x\right)}} \end{gathered}$$

Sedan får man ta och beräkna denna derivata, och det blir ju ganska jobbig att beräkna.

Jaaaa för att $$\begin{gathered} \mathbf{ }\mathit{H}\mathit{L}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathit{V}\mathit{L}\mathbf{\hspace{0.17em}} \\ \mathit{y}\mathbf{=}\mathit{x}\mathbf{+}\mathit{x}\mathbf{+}\mathit{x} \\ {\mathit{e}}^{\mathbf{y}}\mathbf{=}{\mathit{e}}^{\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{x}}\mathbf{ }\mathit{M}\mathit{a}\mathit{n}\mathbf{ }\mathit{h}\mathit{ö}\mathit{j}\mathit{e}\mathit{r}\mathbf{ }\mathit{u}\mathit{p}\mathit{p}\mathbf{ }\mathit{l}\mathit{i}\mathit{k}\mathit{s}\mathit{o}\mathit{m}\mathbf{ }\mathit{h}\mathit{e}\mathit{l}\mathit{a}\mathbf{ }\mathit{V}\mathit{L}\mathbf{\hspace{0.17em}}\mathit{o}\mathit{c}\mathit{h}\mathbf{ }\mathit{h}\mathit{e}\mathit{l}\mathit{a}\mathbf{ }\mathit{H}\mathit{L}\mathbf{.}\mathbf{ }\mathit{J}\mathit{a}\mathit{g}\mathbf{ }\mathit{f}\mathit{ö}\mathit{r}\mathit{s}\mathit{t}\mathit{å}\mathit{r}\mathbf{.}\mathbf{ }\mathit{T}\mathit{a}\mathit{c}\mathit{k}\mathbf{ }\mathit{j}\mathit{a}\mathit{g}\mathbf{ }\mathit{ä}\mathit{r}\mathbf{ }\mathit{m}\mathit{e}\mathit{d}\mathbf{.}\mathbf{ } \end{gathered}$$