19 svar
6746 visningar
Korra behöver inte mer hjälp
Korra 3798
Postad: 18 sep 2017 15:48 Redigerad: 18 sep 2017 15:50

Härledning av derivatan till lnx

Hej, jag undrar om någon skulle kunna visa mig hur derivatan till lnx härleds ett lättförståeligt sätt. Jag vet att derivatan till y=lnx är y'=1x'Men det är inte lika lätt att klura ut vad derivatan är om det står y=lnx2. Ja är derivatan 2x Jag vill veta hur jag gör istället för att memorera. Tack.

pethaf 25
Postad: 18 sep 2017 15:49
MattePapput skrev :

Hej, jag undrar om någon skulle kunna visa mig hur derivatan till lnx härledspå ett lättförståeligt sätt. Jag vet att derivatan till y=lnx är y'=1x'Men det är inte lika lätt att klura ut vad derivatan är om det står y=lnx2. Ja dåär derivatan 2x Jag vill veta hur jag gör istället för att memorera. Tack.

Är du bekant med kedjeregeln? 

Korra 3798
Postad: 18 sep 2017 15:50
pethaf skrev :
MattePapput skrev :

Hej, jag undrar om någon skulle kunna visa mig hur derivatan till lnx härledspå ett lättförståeligt sätt. Jag vet att derivatan till y=lnx är y'=1x'Men det är inte lika lätt att klura ut vad derivatan är om det står y=lnx2. Ja dåär derivatan 2x Jag vill veta hur jag gör istället för att memorera. Tack.

Är du bekant med kedjeregeln? 

Jadå.

HT-Borås 1287
Postad: 18 sep 2017 16:10

Bra. Kedjeregeln går ju ut på att om y är en funktion av z, som i sin tur är en funktion av x, så är derivatan dy/dx = dy/dz*dz/dx. I det här fallet kan du sätta y = ln z, och z = x^2.

Dr. G 9479
Postad: 18 sep 2017 17:05

Eller så kan du först skriva om med logaritmlagen för potens.

ln(x^a) = ... 

Korra 3798
Postad: 18 sep 2017 19:13
HT-Borås skrev :

Bra. Kedjeregeln går ju ut på att om y är en funktion av z, som i sin tur är en funktion av x, så är derivatan dy/dx = dy/dz*dz/dx. I det här fallet kan du sätta y = ln z, och z = x^2.

Förstår inte riktigt vad du vill komma fram till, ja. innre derivata multiplicerat med yttre. det är inte direkt en härledning vad jag kan se iallafall. 

Korra 3798
Postad: 18 sep 2017 19:13
Dr. G skrev :

Eller så kan du först skriva om med logaritmlagen för potens.

ln(x^a) = ... 

Vet inte riktigt hur du menar nu. 

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 18 sep 2017 19:23

I denna fråga så kommer man "fastna" i hur man definierar logaritmen. Men om vi säger att vi vet att

ddxex=ex \frac{d}{dx} e^x = e^x

och vi definierar ln \ln som inversen till ex e^x . Då har vi att om

f(x)=ln(x) f(x) = \ln(x)

så är

ef(x)=x e^{f(x)} = x

Deriverar vi nu båda sidorna och använder kedjeregeln på VL så får man att

ef(x)f'(x)=1 e^{f(x)}f'(x) = 1

Eftersom nu ef(x)=eln(x)=x e^{f(x)} = e^{\ln(x)} = x så får man alltså att

xf'(x)=1 xf'(x) = 1

f'(x)=1x f'(x) = \frac{1}{x}

Så alltså är

ddxln(x)=1x \frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x} .

HT-Borås 1287
Postad: 18 sep 2017 19:23

Ska du härleda derivatan för ln x bör du ta det via definitionen för den:

Om du anser att du vet derivatan för exponentialfunktionen e^x, kan du också utgå från den.

Korra 3798
Postad: 18 sep 2017 19:43
Stokastisk skrev :

I denna fråga så kommer man "fastna" i hur man definierar logaritmen. Men om vi säger att vi vet att

ddxex=ex \frac{d}{dx} e^x = e^x

och vi definierar ln \ln som inversen till ex e^x . Då har vi att om

f(x)=ln(x) f(x) = \ln(x)

så är

ef(x)=x e^{f(x)} = x

Deriverar vi nu båda sidorna och använder kedjeregeln på VL så får man att

ef(x)f'(x)=1 e^{f(x)}f'(x) = 1

Eftersom nu ef(x)=eln(x)=x e^{f(x)} = e^{\ln(x)} = x så får man alltså att

xf'(x)=1 xf'(x) = 1

f'(x)=1x f'(x) = \frac{1}{x}

Så alltså är

ddxln(x)=1x \frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x} .

y=lnxey=xy'ey=1ey=x yx=1y'=1xSå? förstår inte vad ddxbetyder? 

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 18 sep 2017 19:44

Ja, precis så.

d/dx kan du läsa som att det står "derivatan av". Det är bara ett av flera sätt att beteckna derivatan helt enkelt.

Korra 3798
Postad: 18 sep 2017 19:45
HT-Borås skrev :

Ska du härleda derivatan för ln x bör du ta det via definitionen för den:

Om du anser att du vet derivatan för exponentialfunktionen e^x, kan du också utgå från den.

hmm, jaa derivatans definition funkar också. Känns väldigt krånglig. du drar isär bråket först. 

Korra 3798
Postad: 18 sep 2017 19:46
Stokastisk skrev :

Ja, precis så.

d/dx kan du läsa som att det står "derivatan av". Det är bara ett av flera sätt att beteckna derivatan helt enkelt.

Okej men alltså man deriverar HL och VL och det är okej? Om HL=VL så MÅSTE derivatan av HL och VL också vara lika? right? som att det skulle stå x=x tillexempel och då måste 1=1 om man deriverar HL och VL

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 18 sep 2017 19:50

Ja det är okej att derivera båda sidorna på det sättet, men bara om likheten råder för alla x.

Exempelvis så kan vi ju ha ekvationen

x + 3 = 2

Här gäller likheten enbart för ett enda x, så då kan vi inte derivera det, men om vi har att

sin(x) = cos(pi/2 - x)

så har vi ju att denna likhet gäller för alla x och därför kan vi derivera båda sidorna.

Korra 3798
Postad: 18 sep 2017 19:54
Stokastisk skrev :

Ja det är okej att derivera båda sidorna på det sättet, men bara om likheten råder för alla x.

Exempelvis så kan vi ju ha ekvationen

x + 3 = 2

Här gäller likheten enbart för ett enda x, så då kan vi inte derivera det, men om vi har att

sin(x) = cos(pi/2 - x)

så har vi ju att denna likhet gäller för alla x och därför kan vi derivera båda sidorna.

hmm aa okej. Men jag menade mer typ, det fungerar på alla funktioner som y = lnx + sinx + cosx +x18sinx    Då kan man derivera vänsterledet och högerledet?? Om man deriverar VL så blir väl det 1 ? eller? 

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 18 sep 2017 19:57

Nja, om du har funktionen

y=ln(x)+sin(x)+cos(x)+x18sin(x) y = \ln(x) + \sin(x) + \cos(x) + \frac{x^{18}}{\sin(x)}

och deriverar VL så kommer du bara få y' y' , du kommer inte få 1. Hade VL varit x och du deriverade det så hade du fått 1, men då hade ju inte likheten stämt.

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 18 sep 2017 19:58

Nej, om du deriverar funktionen y(x) så blir det y'(x).

Korra 3798
Postad: 18 sep 2017 20:04 Redigerad: 18 sep 2017 20:04
Stokastisk skrev :

Nja, om du har funktionen

y=ln(x)+sin(x)+cos(x)+x18sin(x) y = \ln(x) + \sin(x) + \cos(x) + \frac{x^{18}}{\sin(x)}

och deriverar VL så kommer du bara få y' y' , du kommer inte få 1. Hade VL varit x och du deriverade det så hade du fått 1, men då hade ju inte likheten stämt.

Ja, just förstås. Okej om vi gör såhär då. y = ln(x)+sin(x)+cos(x)+x18sin(x)ey=x+esin(x)+ecos(x)+ex18sin(x)y'ey=1+cos(x)esin(x)-sin(x)ecos(x)+D(ex18sin(x)) <- orkar inte derivera den sista men jag vet att det ska vara kvotregeln. (f'·g)-(g'·f)g2
Stämmer det då? 

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 18 sep 2017 20:13

Det stämmer inte helt. När du höjer upp HL så får man så här

eln(x)+ sin(x)+ cos(x)+ x18sin(x)= x · esin(x)·ecos(x)·ex18sin(x)

Sedan får man ta och beräkna denna derivata, och det blir ju ganska jobbig att beräkna.

Korra 3798
Postad: 18 sep 2017 20:23
Stokastisk skrev :

Det stämmer inte helt. När du höjer upp HL så får man så här

eln(x)+ sin(x)+ cos(x)+ x18sin(x)= x · esin(x)·ecos(x)·ex18sin(x)

Sedan får man ta och beräkna denna derivata, och det blir ju ganska jobbig att beräkna.

Jaaaa för att  HL = VLy=x+x+xey=ex+x+x Man höjer upp liksom hela VLoch hela HL. Jag förstår. Tack jag är med. 

Svara
Close