Härled standardgränsvärde

Kan du rita upp hur funktionen f(x)=(-0,5)^x ser ut? Har funktionen något gränsvärde när x växer obegränsat?

Smaragdalena skrev:

Kan du rita upp hur funktionen f(x)=(-0,5)^x ser ut? Har funktionen något gränsvärde när x växer obegränsat?

Som jag redan har sagt tidigare, jag vet att gränsvärdet inte gäller då $-1\le a\le 1$. Det jag undrar är varför gränsvärdet inte gäller då $a<-1$.

Rudin 3:20d), s57.

Tricket är att skriva om $a = 1 + p$ (p>0) och få det hela på formen

$\frac{n}{(1 + p)^n}$ (Börja med att x är ett heltal n då man då kan använda heltalsalgebra)

I denna form kan man få en bättre karaktärisering av  hur $a^n = (1 + p)^n$ växer genom att använda binomialsatsen. Exempelvis kan du säga att $1 + np + n(n + 1)p^2 / 2 < (1 + p)^n$ om n>3 och dessa polynomapproximationer möjliggör för en att använda gränsvärdesmetoder för polynom.

Nide skrev:

Smaragdalena skrev:

Kan du rita upp hur funktionen f(x)=(-0,5)^x ser ut? Har funktionen något gränsvärde när x växer obegränsat?

Som jag redan har sagt tidigare, jag vet att gränsvärdet inte gäller då $-1\le a\le 1$. Det jag undrar är varför gränsvärdet inte gäller då $a<-1$.

OK ursäkta, då läste jag fel.

Hur ser funktionen y=(-2)^x ut? Är den definierad för t ex alla positiva reella värden på x?

Smaragdalena skrev:

Nide skrev:

Visa föregående citat

Smaragdalena skrev:

Kan du rita upp hur funktionen f(x)=(-0,5)^x ser ut? Har funktionen något gränsvärde när x växer obegränsat?

Som jag redan har sagt tidigare, jag vet att gränsvärdet inte gäller då $-1\le a\le 1$. Det jag undrar är varför gränsvärdet inte gäller då $a<-1$.

OK ursäkta, då läste jag fel.

Hur ser funktionen y=(-2)^x ut? Är den definierad för t ex alla positiva reella värden på x?

Ja?... eller jag ser inte varför den inte skulle vara det. Själva grafen för funktionen (för x>0) blir en kontinuerlig vågig funktion som skiftar mellan negativa och positiva värden. Typ som en sinusfunktion var amplituden konstant ökar (typ som x*sin(x) då x>0). Kan man säga att $(-2{)}^x$går mot oändligheten då x->$+\infty$?  Den skiftar ju mellan negativa och positiva värden, men "amplituden" av funktionen går ju mot oändligheten... är smått förvirrad.

EDIT: Ignorera det jag sa. Jag förstår var jag tänkt fel. $a^x$är endast definierat då a>0.

Hej!

Den reellvärda funktionen $f(x)=a^x$ där $x\in\mathbb{R}$ är definierad endast om $a>0.$

Vad är exempelvis $(-1)^{0.5}$ eller $(-1)^{-0.5}$?

För att visa gränsvärdet kan du studera kvotens logaritm, $\ln x - x\ln a$ och visa att den avtar när $x$ växer; notera att $\ln a$ är positivt när $a>1$.

Albiki skrev:

Hej!

Den reellvärda funktionen $f(x)=a^x$ där $x\in\mathbb{R}$ är definierad endast om $a>0.$

Vad är exempelvis $(-1)^{0.5}$ eller $(-1)^{-0.5}$?

Aha... jag ser nu vad du menar... kan inte fatta att jag missade detta. Nu känner jag mig korkad haha!

Albiki skrev:

För att visa gränsvärdet kan du studera kvotens logaritm, $\ln x - x\ln a$ och visa att den avtar när $x$ växer; notera att $\ln a$ är positivt när $a>1$.

Okej...? Jag förstår inte riktigt vad jag egentligen har bevisat om jag visar att $\ln x - x\ln a$ avtar då x växer. Hur är logaritmerna kopplade med gränsvärdets funktion? Jag vet att jag säkert har lyckats missa någonting jätteuppenbart här, men jag förstår verkligen inte hur detta hjälper mig bevisa gränsvärdet.

Om det bara är för att visa att $a^x$växer snabbare än x så känns det som ett lika enkelt bevis som det jag skrev i toppen av mitt inlägg.

Funktionen $f(x) = \ln x - x\ln a$ där $x\geq a$ har en negativ derivata när $a>1$ och funktionen saknar nedre begränsning.

Det gäller ju att $\ln x \leq x-1$ när $x\geq 1$ vilket ger att

    $f(x) \leq -\{x(\ln a -1)+1\}$

och det går att få $-\{x(\ln a-1)+1\}$ hur stort negativt som helst om du bara ser till att välja positiva talet $x$ tillräckligt stort.

Det går exempelvis att få $f(x) < -100$ om man väljer $x > x_{-100}$ (där $x_{-100}$ är ett visst stort positivt tal) vilket är samma sak som att $e^{f(x)} < e^{-100}$ om $x>x_{-100}$; men $e^{f(x)} = \frac{x}{a^{x}}.$

I efterhand noterar jag att derivata inte behövs för att komma fram till slutsatsen; det räcker med olikheten $\ln x \leq x-1$.

Eftersom Nide inte verkade märka mitt inlägg om binomialsatsen så skriver jag ut det här.

Den centrala idén är att det är lätt att ta gränsvärden av rationella uttryck p(x)/q(x) så ambitionen är att försöka approximera eller begränsa ens ickepolynomiala funktioner med polynom och använda metoderna för rationella uttryck. I detta fall så vill vi hitta ett polynom av högre grad än x som alltid är mindre än $a^x$. Detta bevis är standardbeviset som förekommer i Rudin och en hel del annan introduktionslitteratur till beviscentrerad analys.

Vi kan börja med att konstatera att vi kan ta gränsvärdet över heltal x = 1,2,3,4,5,6,7,... snarare än över allmänna reella tal då gränsvärdena blir desamma.

Därefter kan börja med att konstatera att om a > 1 så kan a skrivas på formen

$a = 1 + p$

där $p > 0$ eller alltså

$a^n = (1 + p)^n = \sum_{k = 0}^n {n \choose k} p^k = 1 + np + \frac{n(n -1)}{2}p^2 + ...$

Så länge n > 3 så kommer $a^n$ att vara större än de tre första termerna och vi kan säga

$(1 + p)^n > 1 + np + \frac{n(n -1)}{2}p^2$

Vi har nu funnit ett konkret polynom som alltid är mindre än exponentialfunktionen. Därmed kan vi ställa upp instängningsansatsen

$0 \leq \frac{n}{(1 + p)^n} \leq \cfrac{n}{1 + np + \frac{n(n -1)}{2}p^2}$

Vi kan således stänga in vårt gränsvärde genom att studera gränsvärdet av ett rationellt uttryck

$\cfrac{n}{1 + np + \frac{n(n -1)}{2}p^2} = \cfrac{1}{1/n + p + \frac{(n -1)}{2}p^2} \to 0$

eftersom vi har en $1/\infty$-situation.

Därmed är gränsvärdet 0.

Denna metod kan använda för att bevisa att $\frac{x^\alpha}{a^x}$ alltid konvergerar mot 0 när x blir stort och $a > 1$

IGNORERA DENNA KOMMENTAR

Nide skrev:

Du har nu bevisat att $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n}{a^n}=0$. Och detta är då a=1... korrekt(ser ingen exponent hos "n")? Hur argumenterar jag nu att $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^a}{a^x}=0$ då a>1? Vi vet ju uppenbarligen att $x\ge n$ och då är $a^x\ge a^n$ (om x>0), men då är också $x^a\ge n$ och täljaren "motverkar" nämnaren i detta fall. Då jag kan väl inte med full säkerhet dra slutsatsen att $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^a}{a^x}=0$ då $a>1$ bara för att $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n}{a^n}=0$ då $a=1$... eller? Jag förstår inte riktigt hur $a>1$ kommer in i bilden här. Antingen har jag läst någonting fel eller så är jag bara dum i huvudet... det andra alternativet är nog troligast :)

Vad är det nu du gör med din täljare? Du har ju redigerat ditt förstainlägg (mot Pluggakutens regler /moderator)och skrivit att det skall vara $x$, inte $x^a$?!?!?

Smaragdalena skrev:

Nide skrev:

Du har nu bevisat att $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n}{a^n}=0$. Och detta är då a=1... korrekt(ser ingen exponent hos "n")? Hur argumenterar jag nu att $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^a}{a^x}=0$ då a>1? Vi vet ju uppenbarligen att $x\ge n$ och då är $a^x\ge a^n$ (om x>0), men då är också $x^a\ge n$ och täljaren "motverkar" nämnaren i detta fall. Då jag kan väl inte med full säkerhet dra slutsatsen att $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^a}{a^x}=0$ då $a>1$ bara för att $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n}{a^n}=0$ då $a=1$... eller? Jag förstår inte riktigt hur $a>1$ kommer in i bilden här. Antingen har jag läst någonting fel eller så är jag bara dum i huvudet... det andra alternativet är nog troligast :)

Vad är det nu du gör med din täljare? Du har ju redigerat ditt förstainlägg (mot Pluggakutens regler /moderator)och skrivit att det skall vara $x$, inte $x^a$?!?!?

Oj.... fan. Ja det som står i inlägget är korrekt. Jag blev nog förvirrad då jag kollade i min matte bok var det stod $\frac{x^a}{a^x}$istället för $\frac{x}{a^x}$som det stod i inlägget... yikes. Mitt fel. Hela min förra kommentar är då helt onödig. Kan man radera en kommentar.

Visste inte att det var mot reglerna att redigera sitt förstainlägg (varför finns dock då "Redigera" knappen på förstainlägget?). Förlåt.

a > 1 kommer in i bilden i mitt bevis för att p måste vara större än noll för att man ska kunna använda binomialsatsen. Annars är alla termer 0 och $a = a^2 = a^3 = ...$ och det finns inget att bevisa. a = 1 är sitt eget fall med ett annat gränsvärde.

Om att man kan ta sitt gränsvärde över heltal istället för över alla reella kan behöva lite analys men följande motiverande lemma borde inte vara alltför utmanande att bevisa:

Lemma: Om $\lim_{x \to \infty}f(x)$ existerar så måste det motsvarande gränsvärdet över heltalen $\lim_{n \to \infty}f(n)$ också existera och ha samma värde som det första. 

Om man vet att ett gränsvärde är väldefinierat är det alltså alltid giltigt att göra det motsvarande över heltalen. Sedan kan man behöva bevisa eller lista ut villkoren för omvändningen om man verkligen vill. 

SeriousCephalopod skrev:

a > 1 kommer in i bilden i mitt bevis för att p måste vara större än noll för att man ska kunna använda binomialsatsen. Annars är alla termer 0 och $a = a^2 = a^3 = ...$ och det finns inget att bevisa. a = 1 är sitt eget fall med ett annat gränsvärde.

Om att man kan ta sitt gränsvärde över heltal istället för över alla reella kan behöva lite analys men följande motiverande lemma borde inte vara alltför utmanande att bevisa:

Lemma: Om $\lim_{x \to \infty}f(x)$ existerar så måste det motsvarande gränsvärdet över heltalen $\lim_{n \to \infty}f(n)$ också existera och ha samma värde som det första. 

Om man vet att ett gränsvärde är väldefinierat är det alltså alltid giltigt att göra det motsvarande över heltalen. Sedan kan man behöva bevisa eller lista ut villkoren för omvändningen om man verkligen vill. 

Tack för svaret. Dock så visade sig frågorna i min förra  kommentar vara helt irrelevanta eftersom att jag råkade blanda ihop $\frac{x^a}{a^x}$med funktionen i mitt inlägg $\frac{x}{a^x}$. Mitt fel. Du hade redan bevisat det jag behövde veta i din förra kommentar så tack! :)

Jag markerar detta inlägg som löst.

Visste inte att det var mot reglerna att redigera sitt förstainlägg (varför finns dock då "Redigera" knappen på förstainlägget?). Förlåt.

Det går att redigera sitt förstainlägg, om man t ex upptäcker ett stavfel. Att man inte får radera eller "redigera ihjäl" besvarade inlägg gäller inte bara förstainlägg. Tänk dig att du skriver ett inlägg, och sedan kommer någon och kommenterar att du har skrivit något som är fel. Då skall man inte bara radera det som var fel, utan stryka över det och tydligt markera vad som är tillagt i efterhand. Annars blir ju kommentaren om att någonting var fel helt obegriplig. /moderator