Härled en formel för sin3v uttryckt i sin v

De Moivre:

$\left(\cos \right(v)+i\sin (v){)}^3=\cos (3v)+i\sin (3v)$

Och eftersom Im(HL)=Im(VL) måste

$\sin \left(3v\right)=Im\left[\cos \right(v)+i\sin (v){]}^3$

Så, utveckla  $\left[\cos \right(v)+i\sin (v){]}^3$ och ta Im-delen av det så har du din formel.

...men mellanlanda inte på vinkeln 2v, utan räkna ut hela parentesen upphöjt till tre.

$(\cos { }^{2}v + i2\sin v\cos v+i^2 {\sin }^{2}v) \times (\cos v + i \sin v)$

$(\cos { }^{2}v - {\sin }^{2}v+ i2\sin v\cos v) \times (\cos v + i \sin v)$

$(cosv*\cos { }^{2}v - cosv*{\sin }^{2}v+ cosv*i2\sin v\cos v+isinv*\cos { }^{2}v - isinv*{\sin }^{2}v+ isinv*i2\sin v\cos v)$

$(\cos { }^{3}v - cosv{\sin }^{2}v+ i2\sin v{\cos }^{2}v+isinv\cos { }^{2}v -i{\sin }^{3}v+ i^{2}2{\sin }^{2}v\cos v)$

(finns det verkligen någon som kan hålla tunga rätt i munnen när man utvecklar en sång monster?)

Nu samlar vi reella och imaginära:

$(\cos { }^{3}v - cosv{\sin }^{2}v-2{\sin }^{2}v\cos v+3 i\sin v{\cos }^{2}v -i{\sin }^{3}v)$

Nu sätter jag HL=VL. Så jag har väl

$\cancel{i}\sin 3v= 3 \cancel{i}\sin v{\cos }^{2}v -\cancel{i}{\sin }^{3}v$

$\cancel{i}\sin 3v= 3 \cancel{i}\sin v(1-{\sin }^{2}v) -\cancel{i}{\sin }^{3}v$

$\sin 3v= 3 \sin v-3{\sin }^{3}v) -{\sin }^{3}v= 3\sin v-2{\sin }^{3}v$

Ser det rimligt ut?

Tanken är rätt, men det är ju mycket att hålla ordning på.

Utnyttja (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + 3b^3

F

(fyyyyfaaan.....!! I knew it!!!)

Jag provar lite senare igen, tack för hjälpen! 

I uttrycket jag skrev är det bara udda exponenter på b som ger imaginära termer. Ser du varför?

Jag ser ingenting som vanligt men jag ska våga säga tappert att det är kanske för att...  Jämna tal ger i^2? 

Ja. Eller i^4, i^6, i^8...

Nähä så jag kan strunta i allt upphöjd i två!!

Ja, alla sådana termer blir reella tal. Just i denna uppgiften är det imaginärdelen du vill åt.

Ok: nu tar jag itu det.

Vi tar Pascal triangel i vänster hand: 

$(a+b{)}^3 = a^3 + 3a^{2}b + 3a{b}^2 + 3b^3$

Vi ersätter med:

$(\cos v+i\sin v{)}^3 = {\cos }^{3}v + 3{\cos }^{2}v*i\sin v + 3\cos v*{\sin }^{2}v*i^2 + 3i^3{\sin }^{3}v$

Imaginära del blir: $Im\left(z\right)=3{\cos }^{2}v i\sin v+ 3i^3{\sin }^{3}v$

Med höger hand tar vi de Moisvre formeln: 

$(\cos v+i\sin v{)}^3 =1^3(\cos 3v+i\sin 3v)$

Nu slår vi ihop de eminenta döda fransmännen med båda händer:

$i\sin 3v=3{\cos }^{2}v*i\sin v+ 3i^3{\sin }^{3}v$

$$\begin{gathered} i\sin 3v=3(1-{\sin }^{2}v)*i\sin v+ 3i^3{\sin }^{3}v \\ i\sin 3v=3i\sin v-3i{\sin }^{3}v+ 3i^3{\sin }^{3}v \end{gathered}$$

Eller nåt sånt?

Daja skrev :

Ok: nu tar jag itu det.

Vi tar Pascal triangel i vänster hand: 

$(a+b{)}^3 = a^3 + 3a^{2}b + 3a{b}^2 + 3b^3$

Vi ersätter med:

$(\cos v+i\sin v{)}^3 = {\cos }^{3}v + 3{\cos }^{2}v*i\sin v + 3\cos v*{\sin }^{2}v*i^2 + \mathbf{3}{i}^3{\sin }^{3}v$

Ser bra ut,  men du har fått en 3:a för mycket på sista termen. Från Pascals triangel kommer  mönstret 1 3 3 1.

Imaginära del blir: $Im\left(z\right)=3{\cos }^{2}v i\sin v+ 3i^3{\sin }^{3}v$

Här har du som sagt en faktor 3 för mycket på sista termen, dessutom bör du redan nu sätta (i³=-i) så du vet vilka faktorer som är imaginära.

Jag har också ett klagomål! Im(Z) ger imaginärdelen av Z, utan i-grejs. Så här

Im(2+4i)=4

Im(12+5i)=5

alltså inte 4i och 5i med i-grejs.

$i\sin 3v=3{\cos }^{2}v*i\sin v+ 3i^3{\sin }^{3}v$

$$\begin{gathered} i\sin 3v=3(1-{\sin }^{2}v)*i\sin v+ 3i^3{\sin }^{3}v \\ i\sin 3v=3i\sin v-3i{\sin }^{3}v+ 3i^3{\sin }^{3}v \end{gathered}$$

Det här blev alltså nästan rätt, notera att du fått en faktor 3 för mycket framför sista termen.  i³=-i borde används redan när du identifierar imaginärdelen . Dessutom ska Im(z) bara ge imaginärdelen, utan i. Se mitt klagomål ovan!

$\fbox{\sin(3v)=3\sin(v)-4sin^3(v)}$

I övrigt bra!

I övrigt bra, men fel, ajajaj... (hur svårt kan det vara att masha upp döda fransmännen?)

Tusen tack! Så varje gång jag har en imaginära del, jag tappar bort i:an?

Pascal triangel. Nästan är väl 1 4 6 4 1 och nästnästan 1 5 10 10 5 1... osv?