En fabrik producerar ett visst antal lampor varje dag

Vveaa skrev:

 

En fabrik producerar ett visst antal lampor varje dag. En dag testades var 25:e lampa och 4 % av dem var trasiga. Nästa dag testades också var 25:e lampa, men då var 11 % trasiga.

Tilde menar att man inte kan vara säker på att fabriken producerat fler trasiga lampor den andra dagen eftersom ökningen inte är statistiskt signifikant.
Tobias påstår att felmarginalen vid den första dagens mätning är ±
3 procentenheter. 

Kan Tilde och Tobias ha rätt samtidigt? Motivera ditt svar.

Ja de kan båda har rätt. Här saknas det mycket information. Vi vet för det första inte vilken konfidensgrad de använt, om de ens pratar om samma konfidensgrad (framgår ej av uppgiften). Kort svar: Ja de kan mycket väl ha rätt båda två. Väldigt mycket information saknas.

Långt svar: Denna uppgift är på TOK för hög nivå för att vara med i Matematik 1. Åtminstone om man ska svara hyfsat korrekt på den. Från vilken bok var detta?

Om vi börjar räkna på det kan vi se:

Låt oss förmoda konfidensgraden är 0.95 och att vi utför normalapproximation av binomialfördelning. Då kan vi härleda n från Tobias påpekande enligt

$1,96\sqrt{\frac{0,04\times 0,96}{n}} = 0,03$ vilket ger $n=\frac{1,96\times 1,96\times 0,04\times 0,96}{0,03\times 0,03}$ $\approx 164$

Av uppgiften känns det rimligt att förmoda att det testades lika många lampor även dag två. Av detta kan vi därmed skapa ett konfidensintervall för förändringen enligt

$0,11-0,04\pm 1,96\sqrt{\frac{0,04·0,96}{164}+\frac{0,11·0,89}{164}} = 0,07\pm 0,0479$ vilket innebär att samma felintensitet befinner sig utanför konfidensintervallet. Detta indikerar en statistiskt signifikant skillnad i felintensitet på konfidensgraden 0.95 och att det skulle innebära att Tilde har fel om Tobias hade rätt och båda pratade om konfidensgraden 0.95. Detta vare sig bevisar eller motbevisar om huruvida de kan ha rätt samtidigt för vi har ju gjort ett förmodande att de pratar om samma konfidensgrad och dessutom specifikt 95%. Sen är det ju egentligen en hypergeometrisk fördelning då det tycks vara stickprov utan återläggning men orkar inte, då blir det ju ännu mer komplicerad fråga... :) Men då kvoten mellan stickprov och totalpopulationen är 0.04 väljer jag att förenkla det och såvida inte det är close-call på slutsatsen kan vi göra det med gott samvete...

Om vi nu allmänt förmodar Tobias har rätt och vi skapar konfidensintervall genom att gå k stycken standardavvikelser åt var sida (alltså inte nödvändigtvis 1,96), får vi, om inte jag tänker fel, att Tildes uttalandes sanningsvärde (under förmodandet att Tobias talar sant och antal kontrollerade lampor var exakt lika många och de dessutom pratar om samma konfidensgrad) är ekvivalent med (om ni undrar substituera $n=\frac{k^2 p_1 q_1}{m^2}$där $k$ är antal standardavvikelser vi låter vara med i våra konfidensintervall och $m$ är påstådd felmarginal som Tobias gör för första dagen. Vi får då till slut

$0,03·\sqrt{1+\frac{0,11·0,89}{0,04·0,96}}> 0,07 \iff 0,05652 > 0,07$ , alltså en falsk utsaga helt oberoende av k faktiskt. Och då det egentligen var en hypergeometrisk fördelning är dessutom 0.05652 en svag överskattning så allt är bra och robust. Detta visar att oavsett vilken konfidensgrad de båda talar om (men den är samma de två i mellan), så implicerar det att om Tobias talar sanning så ljuger Tilde  och vi kan gå andra hållet och därmed visa att om Tilde talar sanning måste Tobias ljuga. Därmed har vi att vi inte kan ha situationen att de båda talar sanning. Men hålla? Vad gör denna uppgift i Matematik 1??? Snälla, säg inte att författarna bara säger att i och med att 0.03•2 < 0.11-0.04 så kan det inte stämma. I så fall har de förenklat något helt enormt. För så enkel är faktiskt inte frågan.