Har problem med att komma vidare med ett induktionsbevis

Visa att det för n ≥ 3 ﬁnns n olika positiva heltal a_1,...,a_n sådana att 1/a_1 + 1/a_2 +···+ 1/a_n = 1.

Hej! Jag har nu stött på en ny typ av induktionsbevis som jag inte riktigt vet hur jag ska börja med. Jag vill lägga upp det så att jag först bevisar att det är sant för n=3. Vi hittar t.ex. en heltalskombinationen a_1=2,a_2=3,a_3=6 som uppfyller likheten, vilket innebär att det finns 3 olika positiva heltal a_1,a_2, a_3 sådana att 1/a_1 + 1/a_2 + 1/a_3 = 1. Därmed håller det för n=3. Men sedan vet jag inte hur jag ska gå vidare för att bevisa att det är sant för n+1 om det är sant för n. Måste jag skriva om a-termerna på något sätt?

Flyttade tråden från Matematik/Bevis till Ma 4. Forumdelen Bevis är inte till för frågor om bevis, utan för bevisade bevis. /Smaragdalena, moderator

Du kan kanske skriva om termen med störst nämnare.

Hej, jag tror jag har löst det! Multiplicerar VL och HL med alla a-termer.

Om heltalet $n>2$ finns det heltal $1<><><\cdots><>$ som är sådana att

$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n} = 1.$

Det gäller att undersöka om detta påstående stämmer.

Anta att det finns ett heltal $n>2$ och heltal $1<><><\cdot><>$ som är sådana att

$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n} =1.$

Det gäller att visa att det finns heltal $1<><><\cdot>< b_n=""><>$ som är sådana att

$\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2} + \cdots+\frac{1}{b_n} + \frac{1}{b_{n+1}} = 1.$

Är det helt säkert att det är induktionsbevis som efterfrågas? Gäller påståendet verkligen för varje n, jag ser inte det. Däremot kan man använda perfekta tal (6 är det första perfekta talet) för att visa att påståendet stämmer för något n.

Tips: Använd att 1/2+1/2=1.

Svara

Visa senaste svar