Har problem med att förstå för vilka N mitt induktionsbeviset gäller för

Talföljden är definierad med rekursion enligt:

a₁=2, a₂=4, a_n+1= a_n+2a_n-1 för n $\ge$2

Hitta en icke-rekursiv formel och bevisa denna med induktion.

Den icke-rekursiva formel jag fann är a_n=2ⁿ och denna har jag sedan bevisat med tvåstegsinduktion.

Basfallen n=1, 2

a₁=2¹=2

a₂=2²=4

Båda fallen stämmer.

Induktionssteg

Antag att n=k-1 och n=k gäller (dvs två på varandra följande tal)

Så a_k-1=2^k-1 och a_k=2^k

Visa att även a_k+1=2^k+1 gäller

Utgår från vänsterledet

VL = a_k+1 = a_k+2a_k-1 = 2^k + 2*2^k-1 = 2^k+1 = HL

Nu till frågan..

Har jag bevisat att min formel gäller för n ≥ 1 eller n ≥ 2 (som enligt den rekursiva formeln)?

Det logiska är att den gäller för n ≥ 1 (eftersom jag visade detta i basfallen) men i alla tidigare uppgifter jag har gjort så bevisar man endast formeln för samma n som den rekursiva formeln är definierad för. I det här fallet för n ≥ 2.