Har mängden i R^3 några randpunker?

Kan man för någon mängd hitta punkter som ligger både i mängden och dess komplement?

Rita en figur över över hur det ser ut och använd lite geometrisk intuition. Vad skulle du intuitivt säga att figurens rand var? Stämmer intuitionen med definitionen?

PATENTERAMERA skrev:

Kan man för någon mängd hitta punkter som ligger både i mängden och dess komplement?

Rita en figur över över hur det ser ut och använd lite geometrisk intuition. Vad skulle du intuitivt säga att figurens rand var? Stämmer intuitionen med definitionen?

Jag klickade på "nöjd med hjälpen" lite för snabbt. 

Jag har ritat ut (så gott jag kan) mängden M ($A_2$ på bilden):

Jag tänker att grafen ser ut som alla punkter ovanför och nedanför området inom de grönt streckade linjerna. 

När jag tänker efter så verkar det som att just |x|<|y| är randpunkter eftersom att för en punkt som ligger på en av de gröna linjerna kan man hitta ett klot så att mängden punkter som ligger inom klotet befinner sig både i mängden M och utanför M. 

För $M_1$så tror jag att randen blir samma linjer somför

M men nu också linjerna z=1 och z=-1.

Definitionen för randpunkt är ju just att en punkt a i $R^{n }$kallas för randpunkt till M om varje öppet klot kring a innehåller punkter från såväl M som komplementet till M. 

z = 1 är ett plan, men är all punkter i detta plan randpunkter?

Fannywi skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Kan man för någon mängd hitta punkter som ligger både i mängden och dess komplement?

Rita en figur över över hur det ser ut och använd lite geometrisk intuition. Vad skulle du intuitivt säga att figurens rand var? Stämmer intuitionen med definitionen?

Jag klickade på "nöjd med hjälpen" lite för snabbt. 

Jag har ritat ut (så gott jag kan) mängden M ($A_2$ på bilden):

Jag tänker att grafen ser ut som alla punkter ovanför och nedanför området inom de grönt streckade linjerna. 

När jag tänker efter så verkar det som att just |x|<|y| är randpunkter eftersom att för en punkt som ligger på en av de gröna linjerna kan man hitta ett klot så att mängden punkter som ligger inom klotet befinner sig både i mängden M och utanför M. 

 

För $M_1$så tror jag att randen blir samma linjer somför

M men nu också linjerna z=1 och z=-1.

Definitionen för randpunkt är ju just att en punkt a i $R^{n }$kallas för randpunkt till M om varje öppet klot kring a innehåller punkter från såväl M som komplementet till M. 

Jag fick området att se ut som två motstående kilar som utsträcker sig parallellt med z-axeln. Det ser ut som du kom fram till samma. Frågan var ju om det fanns några randpunkter och vi kom båda fram till att det fanns det. Frågan krävde inte att man räknade upp exakt vilka randpunkterna var, men det är ju klart att området |x| = |y| består av randpunkter. Jag kan inte finna några ytterligare randpunkter så där på raken. Kan du?

Det andra området ser liknande ut men har ändlig utsträckning i z-led. Även här får vi randpunkter. Vi får igen |x| = |y| fast med begränsning i z-led. Vi får också två ”ändytor” där begränsningarna i z-led kommer in, dessa utgörs av randpunkter också. Är vi överens?

Rent intuitivt så motsvaras randen närmast av vad vi skulle beteckna som områdenas begränsningsytor. Det skulle vara svårt att identifiera randpunkterna om man inte kunde utnyttja sin geometriska intuition här. 

Blev du nöjdare av detta?

De punkter där |x|=|y| tillhör inte mängden. Hade det stått $|x|\le|y|$ skulle se ha tillhört mängden, men nu är det bara "<".

Smaragdalena skrev:

De punkter där |x|=|y| tillhör inte mängden. Hade det stått $|x|\le|y|$ skulle se ha tillhört mängden, men nu är det bara "<".

Randpunkter behöver inte tillhöra mängden. Men korrekt |x| = |y| ligger inte i mängden per se.

Ett sätt att uttrycka det är följande:

Låt $X$ vara ett topologiskt rum, och låt $M\subseteq X$. Då är $\partial M$ mängden av alla punkter $p\in X$ sådana att varje öppen omgivning  $U\subseteq X$ av $p$ skär både $M$ och $X\setminus M$.

Detta kan även uttryckas som att $\partial M=\bar M-M^\circ$.

I ditt fall håller jag med om att $\partial M=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3: |x|=|y|\}$.

Detta blir kanske tydligare om man för ett ögonblick ignorerar variabeln $z$ och försöker bestämma randen till $M=\{(x,y)\in\mathbb R^2: |x|<|y|\}$ i stället.

PATENTERAMERA skrev:

Fannywi skrev:

Visa föregående citat

PATENTERAMERA skrev:

Kan man för någon mängd hitta punkter som ligger både i mängden och dess komplement?

Rita en figur över över hur det ser ut och använd lite geometrisk intuition. Vad skulle du intuitivt säga att figurens rand var? Stämmer intuitionen med definitionen?

Jag klickade på "nöjd med hjälpen" lite för snabbt. 

Jag har ritat ut (så gott jag kan) mängden M ($A_2$ på bilden):

Jag tänker att grafen ser ut som alla punkter ovanför och nedanför området inom de grönt streckade linjerna. 

När jag tänker efter så verkar det som att just |x|<|y| är randpunkter eftersom att för en punkt som ligger på en av de gröna linjerna kan man hitta ett klot så att mängden punkter som ligger inom klotet befinner sig både i mängden M och utanför M. 

 

För $M_1$så tror jag att randen blir samma linjer somför

M men nu också linjerna z=1 och z=-1.

Definitionen för randpunkt är ju just att en punkt a i $R^{n }$kallas för randpunkt till M om varje öppet klot kring a innehåller punkter från såväl M som komplementet till M. 

Jag fick området att se ut som två motstående kilar som utsträcker sig parallellt med z-axeln. Det ser ut som du kom fram till samma. Frågan var ju om det fanns några randpunkter och vi kom båda fram till att det fanns det. Frågan krävde inte att man räknade upp exakt vilka randpunkterna var, men det är ju klart att området |x| = |y| består av randpunkter. Jag kan inte finna några ytterligare randpunkter så där på raken. Kan du?

Det andra området ser liknande ut men har ändlig utsträckning i z-led. Även här får vi randpunkter. Vi får igen |x| = |y| fast med begränsning i z-led. Vi får också två ”ändytor” där begränsningarna i z-led kommer in, dessa utgörs av randpunkter också. Är vi överens?

Rent intuitivt så motsvaras randen närmast av vad vi skulle beteckna som områdenas begränsningsytor. Det skulle vara svårt att identifiera randpunkterna om man inte kunde utnyttja sin geometriska intuition här. 

Blev du nöjdare av detta?

Tack för hjälpen!