Har jag tolkat uppgiften rätt

Hej, jag behöver visa med induktion att en olikhet stämmer men jag är inte helt säker att jag förstår själva olikheten och skulle uppskatta lite hjälp att förstår det om min exempel av hur jag tolka det inte stämmer. Själva induktionen kan jag klara men vill bara se om jag förstår rätt.

Uppgift: Visa, med induktion, att $\frac{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}{n} \geq {(x_{1} * x_{2} * . . . * x_{n})}^{\frac{1}{n}}$ , för alla $n = 2^{k}, k \geq 1 o c h x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n} > 0$ .

Så min tolkning är: en summa av tal (som behöver inte vara konsekutiva) delat med n är lika med eller större än produkten av samma tal upphöjd till 1 genom n.

Eller med ett exempel.

Låt $k = 1 \Rightarrow n = 2, x_{1} = 1, x_{2} = 2, x_{n} = x_{2} = 2$

då får man $\frac{1 + 2 + 2}{2} \geq \sqrt{(1 * 2 * 2)} \Leftrightarrow \frac{5}{2} \geq 2$

Har jag förstått rätt här eller är jag helt ute och cyklar?

Tack på förhand.

Hur tänkte du när du säger $x_{n} = x_{2} = 2$ ? Varifrån kommer denna "tredje" tal?

Om n=2, då borde du bara ha 2 tal, dvs $x_{1}$ och $x_{2}$ .

Så, i ditt fall (om vi följer ditt exempel) då får du $\frac{1 + 2}{2} \geq \sqrt{1 \times 2} \Leftrightarrow \frac{3}{2} \geq \sqrt{2}$ .

Men du behöver bevisa egentligen att $\frac{x_{1} + x_{2}}{2} \geq \sqrt{x_{1} \times x_{2}}$ för alla $x_{1}, x_{2} > 0_{}$ .

Detta är ditt första steg i beviset.

Sen du ska fortsätta med att anta att påståendet är sant för en $k = m$ och du ska bevisa att påståendet är sant för $k = m + 1$

Kan du ta det vidare härifrån?

arad1986 skrev:
Hur tänkte du när du säger $x_{n} = x_{2} = 2$ ? Varifrån kommer denna "tredje" tal?

Om n=2, då borde du bara ha 2 tal, dvs $x_{1}$ och $x_{2}$ .

Så, i ditt fall (om vi följer ditt exempel) då får du $\frac{1 + 2}{2} \geq \sqrt{1 \times 2} \Leftrightarrow \frac{3}{2} \geq \sqrt{2}$ .

Men du behöver bevisa egentligen att $\frac{x_{1} + x_{2}}{2} \geq \sqrt{x_{1} \times x_{2}}$ för alla $x_{1}, x_{2} > 0_{}$ .

Detta är ditt första steg i beviset.

Sen du ska fortsätta med att anta att påståendet är sant för en $k = m$ och du ska bevisa att påståendet är sant för $k = m + 1$

Kan du ta det vidare härifrån?

Okej då förstår jag hur det funkar med antal x termer jag ska ta med, jag trodde att $x_{n}$ skulle adderas med de andra termer men det är snarare att man addera upp till det istället.

Ja jag tror att jag kan ta det härifrån, tack!

Svara