Har jag tänkt rätt? (kvadratroten ur en produkt)

Vad händer om $a<0$ i de två fallen?

tomast80 skrev:

Vad händer om $a<0$ i de två fallen?

Jag vet inte, jag förstår inte riktigt vad du menar med att 0 är större än a...

Frågan är vad som händer med uttrycken om $a$ är negativt, t.ex. lika med $-1$. Stämmer de då?

study skrev:

tomast80 skrev:

Vad händer om $a<0$ i de två fallen?

Jag vet inte, jag förstår inte riktigt vad du menar med att 0 är större än a...

https://www.matteboken.se/lektioner/skolar-8/tal-och-rakning/negativa-tal 

https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/olikheter 

Uppgift b. Du hävdar att $\sqrt{(-2)^2} = -2$. Men det gäller att $\sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4} = 2$ så då påstår du att $2 = -2\iff 4=0.$

tomast80 skrev:

Frågan är vad som händer med uttrycken om $a$ är negativt, t.ex. lika med $-1$. Stämmer de då?

Menar du då 

a) (√a)^2 = (√-1)^2 = √-1 * √-1 = √1 ?????????

b) (√a^2)= √(-1)^2 = √-1*-1 =√1 ?????

a) $\sqrt{a}$ är endast definierat för $a\ge 0$.

b) $\sqrt{a^2}=|a|$

tomast80 skrev:

a) $\sqrt{a}$ är endast definierat för $a\ge 0$.

b) $\sqrt{a^2}=|a|$

men borde inte a >0 vara definerat för båda, för svaret blir a på dom båda? och vad betyder '' I a I'' strecken som är framför och bakom a på uppgift b ?

Nej, på b) går det bra att beräkna uttrycket för ett negativt värde på $a$.

$|a|$ betyder absolutbeloppet av $a$. Se definition här: https://sv.m.wikipedia.org/wiki/Absolutbelopp

tomast80 skrev:

Nej, på b) går det bra att beräkna uttrycket för ett negativt värde på $a$.

$|a|$ betyder absolutbeloppet av $a$. Se definition här: https://sv.m.wikipedia.org/wiki/Absolutbelopp

Okej tack lärde mig något nytt om absolutbelopp,

men jag fattar fortfarande inte varför man kan räkna med enbart positivt värde och 0 på uppgift a och sen räkna med positiv, noll , och negativ värde på uppgift b, eftersom (√a)^2 = √a^2

Det beror på ordningen.

I a) är roten först. T.ex. för $a=-1$ fås:

$(\sqrt{-1})^2$ vilket är odefinierat om man ej räknar med komplexa tal

I b) är kvadreringen först:

$\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1=|-1|$

study skrev:

... men jag fattar fortfarande inte varför man kan räkna med enbart positivt värde och 0 på uppgift a och sen räkna med positiv, noll , och negativ värde på uppgift b, eftersom (√a)^2 = √a^2

Det kanske är lite förvirrande att den obekanta storheten kallas för $a$ i båda uppgifterna, eftersom det inte är "samma" $a$ i de båda uppgifterna.

Vi gör istället om uppgiften så här:

Bestäm

a) $(\sqrt{a})^2$

b) $\sqrt{b^2}$

------- Faktaruta -----------

För att roten ur ett negativt tal ska vara meningsfullt måste vi arbeta med något som kallas komplexa tal. Det kommer först i Matte 2 så jag antar att denna uppgift endast handlar om reella tal.

Då gäller att roten ur ett tal $x$ är definierat som det ickenegativa tal $y$, vars kvadrat är lika med $x$. Dvs om $\sqrt{x}=y$ så gäller dels att $y\geq0$, dels att $y^2=x$.

Det gäller vidare att roten ur ett negativt tal inte är definierat.

För fakta om absolutbelopp, se länk i tdigare svar från tomast80.

----------------------

Nu kan vi ge oss i kast med uppgifterna.

a) Eftersom $\sqrt{a}$ är odefinierad om $a<0$ så är svaret följande:

• Om $a\geq0$ så är $(\sqrt{a})^2=a$
• Om $a<0$ så är uttrycket odefinierat eftersom $\sqrt{a}$ då inte är definierat.

b) Eftersom $b^2$ alltid är större än eller lika med 0, oavsett vilket värde $b$ har, så kommer uttrycket under rottecknet alltid att vara större än eller lika med 0, vilket betyder att rotuttrycket alltid är väldefinierat. Svaret är då följande:

• Om $b\geq0$ så är $\sqrt{(b^2)}=b$
• Om $b<0$ så är $\sqrt{(b^2)}=|b|$
• Eftersom $b=|b|$ om $b\geq0$ så kan vi sammanfatta de två fallen som $\sqrt{(b^2)}=|b|$

---------------

Det hela betyder alltså att likheten $(\sqrt{a})^2=\sqrt{a^2}$ endast är giltig då $a\geq0$.

Tack!