Har jag börjat på rätt spår? Cosinussatsen

Med "ae" avses nog bara "area-enheter".

Så det finns ingen sida "a" och/eller "e".

Affe Jkpg skrev :

Med "ae" avses nog bara "area-enheter".

Så det finns ingen sida "a" och/eller "e".

 aa så är det nog. Men tänkte på om jag ska använda areasatsen i den gula triangeln. Vilken sida är a av den diagonala eller raka?

1. På den blå triangeln kan du tillämpa sinussatsen

2. Diametern på halvcirkeln....

3. Vinklarna i den rätvinkliga....60, 90, 30

4. Sinussatsen i den rätvinkliga ger båda kateterna.

5. Båda kateterna i den rätvinkliga ger hypotenusan (Pythagoras).

6. Nu har du alla längder i den gröna och cosinussatsen ger vinkeln

Affe Jkpg skrev :

1. På den blå triangeln kan du tillämpa sinussatsen

2. Diametern på halvcirkeln....

3. Vinklarna i den rätvinkliga....60, 90, 30

4. Sinussatsen i den rätvinkliga ger båda kateterna.

5. Båda kateterna i den rätvinkliga ger hypotenusan (Pythagoras).

6. Nu har du alla längder i den gröna och cosinussatsen ger vinkeln

 oke! hur vet jag att gula triangeln är rätvinklig? Är sedan tanken att jag ska räkna med alla dessa decimaler? (det är trevligt men något jobbigt) :)

lamayo skrev :

Affe Jkpg skrev :

1. På den blå triangeln kan du tillämpa sinussatsen

2. Diametern på halvcirkeln....

3. Vinklarna i den rätvinkliga....60, 90, 30

4. Sinussatsen i den rätvinkliga ger båda kateterna.

5. Båda kateterna i den rätvinkliga ger hypotenusan (Pythagoras).

6. Nu har du alla längder i den gröna och cosinussatsen ger vinkeln

 oke! hur vet jag att gula triangeln är rätvinklig? Är sedan tanken att jag ska räkna med alla dessa decimaler? (det är trevligt men något jobbigt) :)

 Blir det så mycket decimaler? Den här typen av uppgifter brukar vara "tillrättalagda". Halvcirkeln har t.ex. diameter=3

@Affe Jkpg

Kan man anta att vinkeln 60 grader (gul) + spetsiga vinkeln (grön)  [dvs  60 grader+grönas spets] är 90grader?

Eller ska man räkna fram det på något vis.

sprite111 skrev :

@Affe Jkpg

Kan man anta att vinkeln 60 grader (gul) + spetsiga vinkeln (grön)  [dvs  60 grader+grönas spets] är 90grader?

Eller ska man räkna fram det på något vis.

 Nä, du tycks ha rätt i att det inte finns någon vinkel med 90 grader, inte heller i den röda triangeln.
Den blå/gröna sidan är väl $4\sqrt{2}$?

Affe Jkpg skrev :

sprite111 skrev :

@Affe Jkpg

Kan man anta att vinkeln 60 grader (gul) + spetsiga vinkeln (grön)  [dvs  60 grader+grönas spets] är 90grader?

Eller ska man räkna fram det på något vis.

 Nä, du tycks ha rätt i att det inte finns någon vinkel med 90 grader, inte heller i den röda triangeln.
Den blå/gröna sidan är väl $4\sqrt{2}$?

 Hur får du fram 4$\sqrt{2}$ på grön/blå sida? 

lamayo skrev :

Affe Jkpg skrev :

Visa föregående citat

sprite111 skrev :

@Affe Jkpg

Kan man anta att vinkeln 60 grader (gul) + spetsiga vinkeln (grön)  [dvs  60 grader+grönas spets] är 90grader?

Eller ska man räkna fram det på något vis.

 Nä, du tycks ha rätt i att det inte finns någon vinkel med 90 grader, inte heller i den röda triangeln.
Den blå/gröna sidan är väl $4\sqrt{2}$?

 Hur får du fram 4$\sqrt{2}$ på grön/blå sida? 

 Hur tillämpar man sinus-satsen?

Affe Jkpg skrev :

lamayo skrev :

Visa föregående citat

Affe Jkpg skrev :

sprite111 skrev :

@Affe Jkpg

Kan man anta att vinkeln 60 grader (gul) + spetsiga vinkeln (grön)  [dvs  60 grader+grönas spets] är 90grader?

Eller ska man räkna fram det på något vis.

 Nä, du tycks ha rätt i att det inte finns någon vinkel med 90 grader, inte heller i den röda triangeln.
Den blå/gröna sidan är väl $4\sqrt{2}$?

 Hur får du fram 4$\sqrt{2}$ på grön/blå sida? 

 Hur tillämpar man sinus-satsen?

 sin(30)/2=sin(45)/x. 2*sin(45)=ca 1,4 sin(30)*x=1,4 x=1,4/(sin(30)=2,8? får inte ihop 4$\sqrt{2}$. Vart gör jag fel?

lamayo skrev :

Affe Jkpg skrev :

Visa föregående citat

lamayo skrev :

Affe Jkpg skrev :

Visa föregående citat

sprite111 skrev :

@Affe Jkpg

Kan man anta att vinkeln 60 grader (gul) + spetsiga vinkeln (grön)  [dvs  60 grader+grönas spets] är 90grader?

Eller ska man räkna fram det på något vis.

 Nä, du tycks ha rätt i att det inte finns någon vinkel med 90 grader, inte heller i den röda triangeln.
Den blå/gröna sidan är väl $4\sqrt{2}$?

 Hur får du fram 4$\sqrt{2}$ på grön/blå sida? 

 Hur tillämpar man sinus-satsen?

 sin(30)/2=sin(45)/x. 2*sin(45)=ca 1,4 sin(30)*x=1,4 x=1,4/(sin(30)=2,8? får inte ihop 4$\sqrt{2}$. Vart gör jag fel?

Nä jag huvudräknade fel och du har gjort rätt !

$$\begin{gathered} \frac{\sin \left(30\right)}{2}=\frac{\sin {\displaystyle (}{\displaystyle 45}{\displaystyle )}}{x} \\ x=2\frac{\sin {\displaystyle (}{\displaystyle 45}{\displaystyle )}}{\sin {\displaystyle (}{\displaystyle 30}{\displaystyle )}}=2\frac{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}}{0.5}=\frac{2*2}{2*0.5}\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}{\displaystyle \sqrt{2}}}=2\sqrt{2} \end{gathered}$$

Affe Jkpg skrev :

lamayo skrev :

Visa föregående citat

Affe Jkpg skrev :

lamayo skrev :

Visa föregående citat

Affe Jkpg skrev :

sprite111 skrev :

@Affe Jkpg

Kan man anta att vinkeln 60 grader (gul) + spetsiga vinkeln (grön)  [dvs  60 grader+grönas spets] är 90grader?

Eller ska man räkna fram det på något vis.

 Nä, du tycks ha rätt i att det inte finns någon vinkel med 90 grader, inte heller i den röda triangeln.
Den blå/gröna sidan är väl $4\sqrt{2}$?

 Hur får du fram 4$\sqrt{2}$ på grön/blå sida? 

 Hur tillämpar man sinus-satsen?

 sin(30)/2=sin(45)/x. 2*sin(45)=ca 1,4 sin(30)*x=1,4 x=1,4/(sin(30)=2,8? får inte ihop 4$\sqrt{2}$. Vart gör jag fel?

Nä jag huvudräknade fel och du har gjort rätt !

$$\begin{gathered} \frac{\sin \left(30\right)}{2}=\frac{\sin {\displaystyle (}{\displaystyle 45}{\displaystyle )}}{x} \\ x=2\frac{\sin {\displaystyle (}{\displaystyle 45}{\displaystyle )}}{\sin {\displaystyle (}{\displaystyle 30}{\displaystyle )}}=2\frac{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}}{0.5}=\frac{2*2}{2*0.5}\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}{\displaystyle \sqrt{2}}}=2\sqrt{2} \end{gathered}$$

 okej. Nu har jag de två korta sidorna i triangeln. 3 och 2$\sqrt{2}$. Den 3dje kan jag väll få igenom att göra följande: 

(1,5*h)/2=2$\sqrt{3}$     h= (4$\sqrt{3}$)/1,5=2,66666666667$\sqrt{3}$ (många deciamaler, går det göra på annat sätt?). Sedan använda sinussatsen: sin(v)/1,5=sin(60)/2,66666666667 $\sqrt{3}$.  1,5*($\sqrt{3}$/2)=0,75$\sqrt{3}$.  sin(v)=0,28125  v=16,3348227807.   sin(103,665177921)/x=sin(60)/2,66666666667. sin(60)*x=0,36438483048... nej det här gick inte så bra:)

Uppe till vänster ser jag vinklar 90, 60 och 30 grader, där halvcirkeln möter den gula triangeln.

Gröna triangelns högra vinkel är då 150-v grader 

$\frac{\sin (150-v)}{3}=\frac{\sin {\displaystyle (}{\displaystyle 30}{\displaystyle )}}{2\sqrt{2}}$

Affe Jkpg skrev :

$\frac{\sin (150-v)}{3}=\frac{\sin {\displaystyle (}{\displaystyle 30}{\displaystyle )}}{2\sqrt{2}}$

 sin(150-v)=1,5/2$\sqrt{2}$?

Affe Jkpg skrev :

Uppe till vänster ser jag vinklar 90, 60 och 30 grader, där halvcirkeln möter den gula triangeln.

Gröna triangelns högra vinkel är då 150-v grader 

 Det var visst bara ett "önske-tänkande" att vinklarna är 90, 60 och 30 grader, där uppe till vänster :-)

Affe Jkpg skrev :

Affe Jkpg skrev :

Uppe till vänster ser jag vinklar 90, 60 och 30 grader, där halvcirkeln möter den gula triangeln.

Gröna triangelns högra vinkel är då 150-v grader 

 Det var visst bara ett "önske-tänkande" att vinklarna är 90, 60 och 30 grader, där uppe till vänster :-)

 aha, okej. Men meningen nu är väll att jag ska använda arean jag vet för den gula triangeln och räkna ut den långa sidan på något sätt?

lamayo skrev :

Affe Jkpg skrev :

Visa föregående citat

Affe Jkpg skrev :

Uppe till vänster ser jag vinklar 90, 60 och 30 grader, där halvcirkeln möter den gula triangeln.

Gröna triangelns högra vinkel är då 150-v grader 

 Det var visst bara ett "önske-tänkande" att vinklarna är 90, 60 och 30 grader, där uppe till vänster :-)

 aha, okej. Men meningen nu är väll att jag ska använda arean jag vet för den gula triangeln och räkna ut den långa sidan på något sätt?

 Jaha, utmärkt idée. Den arean hade jag glömt!

Affe Jkpg skrev :

lamayo skrev :

Visa föregående citat

Affe Jkpg skrev :

Affe Jkpg skrev :

Uppe till vänster ser jag vinklar 90, 60 och 30 grader, där halvcirkeln möter den gula triangeln.

Gröna triangelns högra vinkel är då 150-v grader 

 Det var visst bara ett "önske-tänkande" att vinklarna är 90, 60 och 30 grader, där uppe till vänster :-)

 aha, okej. Men meningen nu är väll att jag ska använda arean jag vet för den gula triangeln och räkna ut den långa sidan på något sätt?

 Jaha, utmärkt idée. Den arean hade jag glömt!

 Men jag har fastnat lite. Igen. (a*b*sin(60))/2=2$\sqrt{3}$. Behöver veta antingen a eller b men hur jag får ut det har jag lite hjärnsläpp på just nu. Kanske det lossnar om en stund..

$A=\frac{bh}{2}=\frac{a1.5\sin \left(60\right)}{2}$

där "a" är sidan mellan grön och gul sida

Då har vi längderna på alla sidor i den gröna triangeln och kan beräkna vinkeln "v" med cosinus-satsen!

Affe Jkpg skrev :

$A=\frac{bh}{2}=\frac{a1.5\sin \left(60\right)}{2}$

där "a" är sidan mellan grön och gul sida

 Aha! då är A=8/1,5?

Utmärkt!

$$\begin{gathered} 2\sqrt{3}=a\frac{3}{2}\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}=a\frac{3\sqrt{3}}{8} \\ a=\frac{2*8}{3}=\frac{8}{1.5} \end{gathered}$$

Då har vi längderna på alla sidor i den gröna triangeln och kan beräkna vinkeln "v" med cosinus-satsen!

Affe Jkpg skrev :

Utmärkt!

$$\begin{gathered} 2\sqrt{3}=a\frac{3}{2}\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}=a\frac{3\sqrt{3}}{8} \\ a=\frac{2*8}{3}=\frac{8}{1.5} \end{gathered}$$

Då har vi längderna på alla sidor i den gröna triangeln och kan beräkna vinkeln "v" med cosinus-satsen!

 Då antar jag att det blir $(8/1,5{)}^2$=9+$(2{\sqrt{2)}}^2$-6*2$\sqrt{2}$*cos(v)? 

(8/1,5)^2+12$\sqrt{2}$*cos(v)=17

cos(v)=(17-(8/1,5)^2)/12$\sqrt{2}$.

Kan blivit fel någonstans.

$$\begin{gathered} (\frac{16}{3}{)}^2=(2\sqrt{2}{)}^2+3^2-(3*2\sqrt{2}\cos (v\left)\right) \\ \frac{256}{9}=8+9-\left(6\sqrt{2}\cos \right(v\left)\right) \\ \cos \left(v\right)=\frac{1}{6\sqrt{2}}(17-28\frac{4}{9}) \end{gathered}$$

Affe Jkpg skrev :

$$\begin{gathered} (\frac{16}{3}{)}^2=(2\sqrt{2}{)}^2+3^2-(3*2\sqrt{2}\cos (v\left)\right) \\ \frac{256}{9}=8+9-\left(6\sqrt{2}\cos \right(v\left)\right) \\ \cos \left(v\right)=\frac{1}{6\sqrt{2}}(17-28\frac{4}{9}) \end{gathered}$$

 Aha okej! Såg felet nu i cosinussatsen.

Tack för hjälpen! 

Affe Jkpg skrev :

$$\begin{gathered} (\frac{16}{3}{)}^2=(2\sqrt{2}{)}^2+3^2-(3*2\sqrt{2}\cos (v\left)\right) \\ \frac{256}{9}=8+9-\left(6\sqrt{2}\cos \right(v\left)\right) \\ \cos \left(v\right)=\frac{1}{6\sqrt{2}}(17-28\frac{4}{9}) \end{gathered}$$

Enligt Affe Jkpg ovan blir cos(v) $\approx -1,35$

men cos(v) kan inte vara mindre än -1 eller större än 1

Det saknas en 2:a på slutet i cosinussatsen $- \mathbf{2} * 3 * 2\sqrt{2 } * \cos \left(v\right)$

larsolof skrev :

Affe Jkpg skrev :

$$\begin{gathered} (\frac{16}{3}{)}^2=(2\sqrt{2}{)}^2+3^2-(3*2\sqrt{2}\cos (v\left)\right) \\ \frac{256}{9}=8+9-\left(6\sqrt{2}\cos \right(v\left)\right) \\ \cos \left(v\right)=\frac{1}{6\sqrt{2}}(17-28\frac{4}{9}) \end{gathered}$$

Enligt Affe Jkpg ovan blir cos(v) $\approx -1,35$

men cos(v) kan inte vara mindre än -1 eller större än 1

Det saknas en 2:a på slutet i cosinussatsen $- \mathbf{2} * 3 * 2\sqrt{2 } * \cos \left(v\right)$

 Tack larsolof, den tvåan glömde jag :-)

Frågan:   "Beräkna det exakta värdet av cos(v)"

Svar:    $\cos \left(v\right) = - \frac{103\sqrt{2}}{216}$