Vilket antagande har blivit fel? Resonemanget kan användas för att "bevisa" inkorrekta påståenden också...

God kväll!

Jag sitter med följande uppgift:

Visa att för ett udda $k\ge1$ är $d_n=1+2+3+...+n$ en delare till $S_n=1^k+2^k+3^k+...+n^k$

Jag är lite förvirrad här. Jag ville använda induktion, och kom fram till ett svar med hjälp av det. Men det känns som det blev väldigt enkelt. Så här har jag gjort:

(i) Basfall ( $n=1$ ):

$\displaystyle 1|1\implies d_{1}|S_{1}$

$\displaystyle \therefore \exists n\in\mathbb{N}∋d_{n}|S_{n}$

(ii) Induktionsantagande:

Antag att $d_{n}|S_{n}$ , då $n=p$ . Visa med hjälp av det att $\displaystyle d_{p+1}|S_{p+1}$ .

(iii) Induktionssteget:

$\displaystyle d_{p}|S_{p}\iff S_{p}=q\cdot d_{p}\implies S_{p+1}=q\cdot d_{p+1}$

(Enligt induktionsantagande). Och där är det slut. Om S_p+1 kan skrivas som en multipel av d_p+1 är ju d_p+1 per definition en delare till S_p+1. Men det här känns jättekonstigt. Jag måste ha antagit något man inte får, eller...?

Förstår inte riktigt det sista steget $S_{p} = q d_{p} \Rightarrow S_{p + 1} = q d_{p + 1}$

Är det ett antagande du gör? Eller anser du det vara trivialt?

Ingen aning. Kändes logiskt att om S_x=qd_x => S_x+1 q*d_x+1, men det kanske blir fel då? Tänkte att det var en konsekvens av att deras indexering var samma. Men egentligen kanske det är så att indexeringen på S är variabel men INTE på d.

Det är det den implikationen du vill visa. Men det krävs nog flera steg. Jag kan iallafall inte direkt se att det gäller.

Dessutom antar jag att det ska gälla för alla k? Annars är det bara att sätta k=1 och det blir trivialt.

Isåfall kan det vara bra att även nämna detta i basfallet (egentligen trivialt men på ett prov är det värt att nämna att 1 delar 1^k för alla k).

Jo, sant. Okej. Då är jag med. Vet faktiskt inte vad jag tänkte där. Det jag FÅR anta är att:

$S_{p + 1} = q d_{p} + {(p + 1)}^{k}$

eller hur? Och sedan vill jag visa att det är samma som det jag skrev förut?

Precis! Nu har du en bra början

I detta läge kan det även vara smart att jobba lite baklänges för att göra det lättare att "hitta rätt".

Du vill få $S_{p + 1} = w d_{p + 1} = w (d_{p} + p + 1) = . . .$ (w är en annan konstant som inte behöver vara samma som q).

Ah, nu fattar jag vad som hände förut!

$S_{p} = q d_{p}$ vill vi använda för att visa att $S_{p + 1} = w d_{p + 1}$ . För något annat heltal $w$ ! Det jag gjorde fel var att jag råkade skriva $q$ på båda ställena, vilket förvirrade mig själv.

Svara

Visa senaste svar