Handskakningar (Matematik/Matte 5)

Jag förstår inte varför de gör en könsuppdelning. Uppgiften tycks inte bry sig om könet på personen eftersom alla hälsar på alla.

I varje fall: ett sätt vore att skapa en 24x24 tabell, där varje rad och kolumn motsvarar en person och deras överlapp motsvarar en handskakning mellan de två personerna. Detta blir i så fall 24*24= 576 handskakningar.

Emellertid skakar ingen hand med sig själv så diagonalen i tabellen får elimineras, så vi får 576-24= 552 handskakningar.

Slutligen så motsvarar rad n, kolumn m samma handskakning som rad m, kolumn n, så varje handskakning har räknats dubbelt, så vi får dividera med två, dvs. 552/2= 276 handskakningar.

Ett annat sätt att beräkna antalet är att tänka att person 1 hälsar på alla övriga personer. Det blir 23 handskakningar. Sedan är person 1 färdighälsad och går och sätter sig i ett hörn.

Sedan hälsar person 2 på alla kvarvarande personer. Det blir 22 handskakningar. Sedan är person 2 färdighälsad och går och sätter sig i ett hörn.

Sedan hälsar person 3 på alla kvarvarande personer o.s.v.

Till slut är det bara person 23 och 24 kvar. De skakar hand och går och sätter sig I hörnet.

Det totala antalet handskakningar är alltså 23+22+21+...+2+1 = 23*(1+23)/2 = 276.

Bedinsis skrev:
Jag förstår inte varför de gör en könsuppdelning. Uppgiften tycks inte bry sig om könet på personen eftersom alla hälsar på alla.

Kanske för att förvirra. Men jag gissar att det finns en fortsättning på frågan eftersom det står "först".

Bedinsis,

Varför 24x24?

Förstår inte heller varför man dividerar med 2 och hur man ska se att man ska dividera.

Yngve,

Tar inte detta lång tid att räkna på? Tack för metoden dock!

Laguna,

Det stämmer, det finns en till fråga efter men den var det inga konstigheter på.

plusminus skrev:
Bedinsis,

Varför 24x24?

Förstår inte heller varför man dividerar med 2 och hur man ska se att man ska dividera.

Yngve,

Tar inte detta lång tid att räkna på? Tack för metoden dock!

Laguna,

Det stämmer, det finns en till fråga efter men den var det inga konstigheter på.

Bedinsis skapar en tabell med alla teoretiskt möjliga kombinationer och reducerar sedan bort de som är omöjliga samt de som är "samma handskakning".

Om n personer finns i ett rum och alla skall skaka hand skakar n personer hand med n-1 personer (man skakar ej hand med sig själv). Alltså sker totalt n(n-1) handskakningar. Men, hälften av dem är "lika". Om A skakar hand med B så är det samma handskakning som när B skakar hand med A, och vi skall bara räkna unika handskakningar, därför måste man dela med 2 och får n(n-1)/2.

plusminus skrev:
[...]

Yngve,

Tar inte detta lång tid att räkna på? Tack för metoden dock!

Nej, tvärtom. Man behöver inte gå igenom alla personer.

Tanken är att man i stort sett direkt kan komma fram till att antalet handskakningar är 23+22+21+...+2+1.

Detta är en aritmetisk summa vars värde du lätt kan beräkna med formeln $S_n=n\cdot\frac{a_1+a_n}{2}$ ur ditt formelblad.

Vi har inte pratat om det än. Frågan ligger under kapitlet "permutationer", hur är tanken att man ska lösa denna fråga med "antalet permutationer av n element"?

Off topic kanske, men varför finns det ingen matematisk symbol som, likt fakultet, beräknar summan av alla tal under det givna talet?

plusminus skrev:
Vi har inte pratat om det än. Frågan ligger under kapitlet "permutationer", hur är tanken att man ska lösa denna fråga med "antalet permutationer av n element"?

OK, då kanske det är en brygga över till begreppet kombinationer.

Antalet permutationer är lika med antalet sätt att välja ut ett visst antal element ur en mängd, med hänsyn tagen till ordningen.

I det här fallet, antal sätt att välja ut två handskakande personer ur gruppen med 24 personer är $P(24,2)=\frac{24!}{(24-2)!}=\frac{24!}{22!}=24\cdot23$ . Nu räknas urvalen Johan/Lotta och Lotta/Johan som två olika urval (två handskakningar).

Om vi vill göra samma beräkning utan hänsyn tagen till ordningen, dvs att Johan/Lotta och Lotta/Johan endast ska räknas som ett urval (en handskakning), kan vi använda begreppet kombinationer, som i det här fallet blir

$C(24,2)=$ $24\choose2$ $=\frac{P(24,2)}{2!}=\frac{24!}{22!2!}=\frac{24\cdot23}{2}$

Anto skrev:
Off topic kanske, men varför finns det ingen matematisk symbol som, likt fakultet, beräknar summan av alla tal under det givna talet?

Troligtvis eftersom det inte är en matematisk operation som man gör så ofta att det finns ett behov för att ha en separat symbol för den. Fakultet används ofta då man räknar med kombinatorik så att ha en enkel symbol för operationen underlättar beteckningar och uträkningar.

Det finns en enkel formel för summan, det gör det inte för produkten.

Summan 1+2+3+ ... +(N-1)+N brukar man kalla Det N:te triangeltalet.

https://sv.wikipedia.org/wiki/Triangeltal

Men, som sagt, det finns ingen speciell symbol för triangeltal.

Yngve,

varför blir det P(24,2) Betyder inte detta att vi har 24 element och vi väljer ut 2 av dessa?

Och hur är P(24,2)/2! lika med C(24,2)?

plusminus skrev:
Yngve,

varför blir det P(24,2) Betyder inte detta att vi har 24 element och vi väljer ut 2 av dessa?

P(24, 2) är antalet sätt att välja ut 2 element ur en mängd med 24 element, med hänsyn tagen till ordningen.

I handskakningsfallet, antalet sätt att välja ut 2 handskakare ur gruppen på 24 personer, om vi tar hänsyn til ordningen i vilken personerna väljs ut.

Dvs om "Lotta och Johan" räknas som ett sätt och "Johan och Lotta" räknas som ett annat sätt.

Och hur är P(24,2)/2! lika med C(24,2)?

Det beskrivs i det avsnitt om kombinationer jag länkde till i svar #10. Har du läst det?

Ja jag har läst det. Men fattar inte riktigt "omvandlingen". Man tar antalet permutationer delat på 2 fakultet. Förstår framförallt inte varför det är 24,2

Vad är det jag hade räknat ut om jag tog 12x12?

Tycker fortfarande det är lite konstigt att det ska vara P(24,2) / 2! Förstår att det är för att inte man ska få dubletter men inte hur man kommer fram till det.

Bubo skrev:
Summan 1+2+3+ ... +(N-1)+N brukar man kalla Det N:te triangeltalet.

https://sv.wikipedia.org/wiki/Triangeltal

Men, som sagt, det finns ingen speciell symbol för triangeltal.

D. Knuth (geni IMO) har definierat

https://handwiki.org/wiki/Termial

och jag tror det är vedertaget.

Anto skrev:
Off topic kanske, men varför finns det ingen matematisk symbol som, likt fakultet, beräknar summan av alla tal under det givna talet?

https://handwiki.org/wiki/Termial

Tack, när ska man använda permutationer och när använder man kombinationer? Det handlar säkerligen om vad det efterfrågas men tycker det ibland blir lite luddigt.

Kortfattat:

Permutationer när ordningen är relevant. Exempel: När urvalen ABC, ACB, BAC, BCA, CAB och CBA anses vara olika urval)
Kombinationer när ordningen inte ör relevant. Exempel: När alla ovanstående urval kan anses vara samma urval (representeras som "mängden" ABC).

Men om man vill att ordningen ska spela roll på vi säger de 3 första men resten är valfria, hur räknar man då?

plusminus skrev:
Men om man vill att ordningen ska spela roll på vi säger de 3 första men resten är valfria, hur räknar man då?

Hur menar du "de tre första"?

Kan du ge ett exempel där det t.ex. endast är 8 personer ABCDEFGH med?

plusminus skrev:
Men om man vill att ordningen ska spela roll på vi säger de 3 första men resten är valfria, hur räknar man då?

Hitta på en uppgift så kan vi fundera på det. Jag har svårt att komma på någon situation där det skulle kunna handla om handskakningar...

Om man skall välja en styrelse där man bestämmer ordförande, sekreterare och kassör och har två övriga styrelsemedlemmar och det finns 50 personer att välja mellan, så går det att välja styrelsen på $50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot (\begin{matrix} 47 \\ 2 \end{matrix})$ olika sätt.

Yngve skrev:
plusminus skrev:
Men om man vill att ordningen ska spela roll på vi säger de 3 första men resten är valfria, hur räknar man då?

Hur menar du "de tre första"?

Kan du ge ett exempel där det t.ex. endast är 8 personer ABCDEFGH med?

Om vi exempelvis har ordet "ANANAS", hur tar man reda på hur många ord man kan bilda av dessa bokstäver där de 2 första ska börja med SA?

Antal ord att bilda:

6!/2! 3!

= 60

Men sedan ska de två första bokstäverna vara SA exempelvis

Smaragdalena skrev:
plusminus skrev:
Men om man vill att ordningen ska spela roll på vi säger de 3 första men resten är valfria, hur räknar man då?

Hitta på en uppgift så kan vi fundera på det. Jag har svårt att komma på någon situation där det skulle kunna handla om handskakningar...

Om man skall välja en styrelse där man bestämmer ordförande, sekreterare och kassör och har två övriga styrelsemedlemmar och det finns 50 personer att välja mellan, så går det att välja styrelsen på $50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot (\begin{matrix} 47 \\ 2 \end{matrix})$ olika sätt.

Tack. Men varför är det multiplikation mellan

50x49x48 och (47,2)?

Multiplikationsprincipen.

plusminus skrev:

Om vi exempelvis har ordet "ANANAS", hur tar man reda på hur många ord man kan bilda av dessa bokstäver där de 2 första ska börja med SA?

Antal ord att bilda:

6!/2! 3!

= 60

Men sedan ska de två första bokstäverna vara SA exempelvis

Jag antar här att det inte är någon skillnad på de bokstäver som är lika, dvs att det endast finns 3 olika bokstäver A, N och S.

Om de två första bokstäverna ska vara SA i just den ordningen så finns det bara 4 följande bokstäver kvar att lägga till: NANA.

Detta kan endast göras på 6 olika sätt, nämligen

AANN

ANAN

ANNA

NAAN

NANA

NNAA

Smaragdalena skrev:
Multiplikationsprincipen.

Vad hade man räknat på om man tog 50x49x48 + (47,2)?

Yngve,

kan jag beräkna detta med någon "princip" istället för att testa mig fram? (:

Tillägg: 5 apr 2024 16:31

Då blir det

två bestämda och de andra fyra ska vara NANA precis som du sa, alltså har vi 2 N och 2 A, bör inte det bli

2x2x2x2 möjligheter (känns dock för mycket)

plusminus skrev:
Yngve,

kan jag beräkna detta med någon "princip" istället för att testa mig fram? (:

Ja, vi kan inledningsvis utgå från att alla bokstäver är unika, dvs att de egentligen är A₁, A₂, N₁ och N₂.

Då kan vi med hjälp av multiplikationsprincipen (se nedan) räkna ut hur många varianter det i så fall skulle finnas. Det skulle bli 4*3*2*1 = 24 varianter.

Sedan kan vi kompensera för alla dubletter:

Vi börjar med att byta ut A₁ och A₂ mot A, vilket gör att hälften av dessa 24 varianter nu har blivit dubletter. Om vi tar bort dessa dubletter blir det kvar 24/2 = 12 varianter.

Vi fortsätter med att byta ut N₁ och N₂ mot N, vilket betyder att hälften av dessa 12 varianter nu har blivit dubletter. Om vi tar bort dessa dubletter blir det kvar 12/2 = 6 varianter.

Uträkningen blir alltså $\frac{4!}{2\cdot2}=6$

===== Nedan =====

Multiplikationsprincipen: 4 val för position 1, 3 val för position 2, 2 val för position 3 och 1 val för position 4 ger oss 4*3*2*1 olika möjligheter.

plusminus skrev:
Smaragdalena skrev:
Multiplikationsprincipen.

Vad hade man räknat på om man tog 50x49x48 + (47,2)?

Fel.

Tack Yngve för din förklaring. Uppskattas.

Nu klarnade det till lite bättre. Det jag beräknat #29 (2x2x2x2) inser jag nu är att jag återanvänder A och N för varje tomrum. S A _ _ _ _

Det du istället gör är att beräkna alla bokstäver som om de vore unika, och därefter tar bort dubletterna. Om det hade varit J,K,A,N som alternativ som de fyra sista hade det alltså räckt med 4! ?

Smaragdalena,

Ja det är fel.

Men min fråga var vad det isåfall hade gett för svar om jag gjort så? (tolkning av beräkningen). Man adderar antalet möjligheter "fasta positioner" med antalet "mix" positioner?

plusminus skrev:
Tack Yngve för din förklaring. Uppskattas.

Nu klarnade det till lite bättre. Det jag beräknat #29 (2x2x2x2) inser jag nu är att jag återanvänder A och N för varje tomrum. S A _ _ _ _

Ja, det blir fel. Så skulle det vara om det fanns minst fyra bokstäver av varje, så att de inte "tog slut"

Det du istället gör är att beräkna alla bokstäver som om de vore unika, och därefter tar bort dubletterna. Om det hade varit J,K,A,N som alternativ som de fyra sista hade det alltså räckt med 4! ?

Ja det stämmer.

Yngve skrev:
plusminus skrev:
Tack Yngve för din förklaring. Uppskattas.

Nu klarnade det till lite bättre. Det jag beräknat #29 (2x2x2x2) inser jag nu är att jag återanvänder A och N för varje tomrum. S A _ _ _ _

Ja, det blir fel. Så skulle det vara om det fanns minst fyra bokstäver av varje, så att de inte "tog slut"

Det du istället gör är att beräkna alla bokstäver som om de vore unika, och därefter tar bort dubletterna. Om det hade varit J,K,A,N som alternativ som de fyra sista hade det alltså räckt med 4! ?

Ja det stämmer.

Tack så mycket!

plusminus skrev:

Tack så mycket!

Vsg. Behöver du fortfarande hjälp med att få svar på din fråga i #16, varför man ska dividera med 2! för att få bort dubletterna?

Dvs undrar du fortfarande varför C(m, n) = P(m, n)/n!

plusminus skrev:
Smaragdalena,

Ja det är fel.

Men min fråga var vad det isåfall hade gett för svar om jag gjort så? (tolkning av beräkningen). Man adderar antalet möjligheter "fasta positioner" med antalet "mix" positioner?

Ingenting vettigt. Du behöver multiplicera varje steg för att det skall bli rätt svar. För att bygga vidare på mitt exempel: Vi har 50 personer att völja mellan. Vi väljer Pernilla till ordförande. Då finns det 49 personer att välja mellan som sekreterare, och vi väljer Abdullah. Då har vi 48 personer kvar att välja på som kassör, och vi väljer Bettan. Sedan finns det 47 personer kvar att välja mellan, och det blir det samma resultat om vi väljer Allan och Rut som om vi väljer Rut och Allan.

Vi kan välja ordförande på 50 olika sätt och sekreterare på 49 sätt (Pernilla kan inte vara både ordförande och sekreterare). Då kan man välja ordförande och sekreterare på 50^.49 olika sätt, och så kan man fortsätta på samma sätt.

Yngve skrev:
Vsg. Behöver du fortfarande hjälp med att få svar på din fråga i #16, varför man ska dividera med 2! för att få bort dubletterna?

Dvs undrar du fortfarande varför C(m, n) = P(m, n)/n!

Gärna. Är inte helt säker på om jag fattar rätt så vore väldigt snällt om jag kunde få en förklaring till det för bekräftelse.

Smaragdalena,

tack för förtydligandet. Jag är med på att man ska ta 50x49x48, men sedan tar man multiplicerat med (47,2) istället för att addera (47,2).

plusminus skrev:

Gärna. Är inte helt säker på om jag fattar rätt så vore väldigt snällt om jag kunde få en förklaring till det för bekräftelse.

Nämnaren n! är där för att antalet urval är n! gånger fler om man tar hänsyn till ordningen.

Jag ska försöka förklara varför det är just n!

Om det är 2 objekt som väljs ut, vi kan kalla dem A₁ och A₂, som väljs ut så blir det, som vi har sett i fallet med ANANAS, dubbelt så många urval om vi tar hänsyn till ordningen. Detta eftersom det enligt multiplikationsprincipen finns 2*1 = 2! sätt att ordna A₁ och A₂, oavsett var i urvalet de befinner sig, nämligen A₁A₂ och A₂A₁.

Om det är 3 objekt som väljs ut, vi kan kalla dem A_1,A₂ och A₃ som väljs ut så blir det 3! gånger så många urval om vi tar hänsyn till ordningen. Detta eftersom det enligt multiplikationsprincipen finns 3*2*1 = 3! sätt att ordna A₁, A₂ och A₃, oavsett var i urvalet de befinner sig, nämligen A₁A₂A₃, A₁A₃A₂, A₂A₁A₃, A₂A₃A₁, A₃A₁A₂ och A₃A₂A_1.

Om det är 4 objekt som väljs ut så blir det 4! gånger så många urval om vi tar hänsyn till ordningen. Detta eftersom det enligt multiplikationsprincipen ffinns 4*3*2*1 = 4! sätt att oordna dessa element, oavsett var i urvalet de befinner sig.

Om det är n objekt som väljs ut så blir det n! gånger så många urval om vi tar hänsyn till ordningen. Detta eftersom det enligt multiplikationsprincipen finns n*(n-1)*...*2*1 = n! sätt att oordna dessa element, oavsett var i urvalet de befinner sig.

För att kompensera för detta antal "dubletter" behöver vi alltså dividera antalet möjligheter med n!.