Halvklot

Ta och kalla den markerade vinkeln för x. Utifrån denna vinkel så kan du härleda vad cylindern har för radie samt vad den har för höjd. Sedan söker du efter den vinkel som ger den största volymen.

Stokastisk skrev :

Ta och kalla den markerade vinkeln för x. Utifrån denna vinkel så kan du härleda vad cylindern har för radie samt vad den har för höjd. Sedan söker du efter den vinkel som ger den största volymen.

Menar du
$\frac{2r}{R}=Sin\left(x\right)$ & $\frac{h}{R}=Cos\left(X\right)$

 Japp det är det jag menar.

Stokastisk skrev :

 Japp det är det jag menar.

Ja då får jag $$\begin{gathered} h=R·\cos \left(x\right) \\ r=\frac{R·\sin \left(x\right)}{2} \end{gathered}$$

$C_v=\mathrm{\pi }(\frac{\mathrm{R}·\sin \left(\mathrm{x}\right)}{2}{)}^2·\mathrm{R}·\cos (\mathrm{x})$  Eftersom att Radien är konstant så kan vi derivera och få fram ett maximivärde på cylinderns volym, stämmer det? 

$C_v\text{'}=2\mathrm{\pi }\left(\frac{\mathrm{R}·\sin \left(\mathrm{x}\right)}{2}\right)\left(\frac{\mathrm{R}·\cos \left(\mathrm{x}\right)}{2}\right)·\mathrm{R}·\cos \left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{R}·\sin \left(\mathrm{x}\right)·\mathrm{\pi }(\frac{\mathrm{R}·\sin \left(\mathrm{x}\right)}{2}{)}^2$ Nu sätter jag $C_v'=0$

Insåg att du måste dubblera höjden i den där formeln eftersom annars får du bara med halva cylindern. Men det spelar inte så stor roll för det du redan räknat., det ser ut att stämma.

Du ska lösa ekvationen $C_v' = 0$.

Stokastisk skrev :

Insåg att du måste dubblera höjden i den där formeln eftersom annars får du bara med halva cylindern. Men det spelar inte så stor roll för det du redan räknat., det ser ut att stämma.

Du ska lösa ekvationen $C_v' = 0$.

Den är ju jätte komplicerad att räkna med, ska man verkligen göra så?

Så jättefarligt är det nog inte att lösa den. Men du kan ju alltid ta och formulera om det om du känner för det, säg att x är halva höjden istället. Då är radien

$\frac{\sqrt{R^2-x^2}}{2}$

Så volymen är

$C_v=\pi {\left(\frac{\sqrt{R^2-x^2}}{2}\right)}^2·2x=\frac{\pi (R^2-x^2)x}{2}$

vilket kanske blir trevligare att försöka maximera.