Halveringstid

Använd 10-logaritmer - det har ni väl gått igenom, om du får en sådan här uppgift?!

Talet ½ kan skrivas som 10^lg0,5 eller 10^-lg2.

Smaragdalena skrev:

Använd 10-logaritmer - det har ni väl gått igenom, om du får en sådan här uppgift?!

Talet ½ kan skrivas som 10^lg0,5 eller 10^-lg2.

Jag vet hur man löser logaritm ekvationer men jag har svårt för att veta när de ska användas och hur man ställer upp ekvationer av detta slag. Fast 1/2 är ju lika med 10^-lg2 så varför ska vi skriva upp logaritmerna om vi har 1/2. 10^ och lg tar ut varandra. Vi har ju inte en okänd exponent. 

En halvering kan beskrivas med förändringsfaktorn 0.5. Två halveringar blir $0.5^2$, tre halveringar $0.5^3$ osv. Notera att antalet halveringar utgör exponenten.

Så hur många halveringar finns i ditt fall? Säg att det gått x år, och var 5750:e år blir det en halvering. Det blir x/5750 halveringar.

Kan du ställa upp en ekvation med hjälp av det?

Skaft skrev:

En halvering kan beskrivas med förändringsfaktorn 0.5. Två halveringar blir $0.5^2$, tre halveringar $0.5^3$ osv. Notera att antalet halveringar utgör exponenten.

Så hur många halveringar finns i ditt fall? Säg att det gått x år, och var 5750:e år blir det en halvering. Det blir x/5750 halveringar.

Kan du ställa upp en ekvation med hjälp av det?

0,301=(1/2)^(x/5750)

Vad gör jag för fel?

I första steget måste du ta logaritmen av hela högerledet. Vänster- och högerled är lika på rad 1, så då måste deras logaritmer vara lika på rad 2:

$\lg(0.301) = \lg\left(0.5^{x/5750}\right)$

Använd sedan en logaritmlag för att få ut exponenten, så kan x lösas ut.

Skaft skrev:

I första steget måste du ta logaritmen av hela högerledet. Vänster- och högerled är lika på rad 1, så då måste deras logaritmer vara lika på rad 2:

$\lg(0.301) = \lg\left(0.5^{x/5750}\right)$

Använd sedan en logaritmlag för att få ut exponenten, så kan x lösas ut.

Det var så jag menade. Men jag har väl redan fått ut exponenten? Kolla på det sista steget där jag fick x ensamt.

Det går inte att lösa detta på min miniräknare så jag måste göra om talet till log_10 och inte log_0,5 men jag är verkligen fast...

Du tappade lg(0.5) någonstans på vägen. Logaritmlagen är

$\lg(a^b) = b\lg(a)$

Så exponenten hoppar ut, och multipliceras med lg(0.5).

Skaft skrev:

Du tappade lg(0.5) någonstans på vägen. Logaritmlagen är

$\lg(a^b) = b\lg(a)$

Så exponenten hoppar ut, och multipliceras med lg(0.5).

Jo jag tog bort  0,5 för att jag multiplicerade med log_0,5 

Aha, ser din edit nu. 0.5 är inte basen för logaritmen, det är 10-logaritmen som gäller hela vägen. Vi tar alltså 10-logaritmen av båda led, plockar ut exponenten, som multipliceras med 10-logaritmen av 0.5.

Skaft skrev:

Du tappade lg(0.5) någonstans på vägen. Logaritmlagen är

$\lg(a^b) = b\lg(a)$

Så exponenten hoppar ut, och multipliceras med lg(0.5).

Är detta en fullständigt förenklad ekvation? 

Edit: Jag tog det på miniräknaren men fick fel svar... 

Såg toppen ut fram till sista steget =) Det finns ingen logaritmlag som säger

$\dfrac{\lg(a)}{\lg(b)} = \lg\left(\dfrac{a}{b}\right)$,

så den förenklingen får du inte göra.

Skaft skrev:

Såg toppen ut fram till sista steget =) Det finns ingen logaritmlag som säger

$\dfrac{\lg(a)}{\lg(b)} = \lg\left(\dfrac{a}{b}\right)$,

så den förenklingen får du inte göra.

Oj blandade ihop lagarna lite 

Skaft skrev:

Såg toppen ut fram till sista steget =) Det finns ingen logaritmlag som säger

$\dfrac{\lg(a)}{\lg(b)} = \lg\left(\dfrac{a}{b}\right)$,

så den förenklingen får du inte göra.

Nu fick jag rätt svar! Tack! Men jag undrar en sak. Implementerar vi tiologaritmer i allt vi gör? Använder vi aldrig log_2 eller log_0,5? Om du kollar på min miniräknare så har jag bara 10 logaritmer tror jag. 

Edit: I min mattebok har jag aldrig sett när dem använder andra logaritmer. Gäller logaritmlagarna alltså bara tiologaritmer? 

Den vanligaste är naturliga logaritmen, med bas e. Använder man inte den brukar det vara 10.

Logaritmbaserna är utbytbara, alla beräkningar du kan göra med bas 2 kan du lika gärna göra med bas 10 (Notera att en av logaritmlagarna är en basbyteslag). Därför är det lite standardiserat vilka man använder. Sedan har just bas e fördelar gentemot övriga, nämligen en enklare derivata, men det är nästa mattekurs. Kort sagt finns det goda skäl till varför den är vanligast.

(Logaritmlagarna gäller dock alla baser, utom undantag som bas 0 eller 1. Det finns bara, i allmänhet, inga skäl att använda andra baser än 10 eller e)

Skaft skrev:

Den vanligaste är naturliga logaritmen, med bas e. Använder man inte den brukar det vara 10.

Logaritmbaserna är utbytbara, alla beräkningar du kan göra med bas 2 kan du lika gärna göra med bas 10 (Notera att en av logaritmlagarna är en basbyteslag). Därför är det lite standardiserat vilka man använder. Sedan har just bas e fördelar gentemot övriga, nämligen en enklare derivata, men det är nästa mattekurs. Kort sagt finns det goda skäl till varför den är vanligast.

(Logaritmlagarna gäller dock alla baser, utom undantag som bas 0 eller 1. Det finns bara, i allmänhet, inga skäl att använda andra baser än 10 eller e)

Vilken logaritmlag är en basbyteslag?

Jag har fortfarande svårt för att förstå varför vi just använder 10 logaritmer istället för log_2 eller som i detta exempel log_0,5. Vad gör det för skillnad och vilken fördel har det?

Här ser det ut som logaritmlagarna bara gäller när det är 10 logaritmer

Näst sista punkten här visar basbyteslagen.

Du kan använda log_2 också om du vill. Det gör ingen skillnad, baserna är som sagt utbytbara. Troligen finns bas 2 även på miniräknaren om du letar bland menyerna. På min finns en "logx" funktion där man anger basen som ett argument.

Men jag kan ställa frågan åt andra hållet: Varför ska vi beräkna logaritmer med oändligt många olika baser, när vi kan använda samma? Det är väl onödigt komplicerat.

Om man väl bestämt sig för att välja en enda bas så är 10 naturligt, eftersom det är så vårt talsystem är indelat. 10^2 är ju 100, och 10^3 = 1000. Så om du räknar fram att tio-logaritmen av något tal är 2.56, så vet du direkt att det handlar om ett tresiffrigt tal. Och om lg(x) = 7.05 så är x drygt 10 miljoner. Logaritmer i bas 10 är alltså direkt kopplat till talets storleksordning, vilket gör de värdena lite mer intuitiva än andra baser. (Men som sagt har bas e matematiska fördelar)

Att boken väljer att visa lagarna för en enda bas är bara för att hålla det enkelt, men förhoppningsvis nämner de någonstans att basen inte *måste* vara 10.

Skaft kanske menar: ${\log }_a\left(x\right)=\frac{{\log }_b\left(x\right)}{{\log }_b\left(a\right)}$

Men att detta räknas som en 'logaritmlag' har jag inte hört tidigare.
Observera att jag bara gissar vad Skaft menar. Något som jag förmodligen inte borde göra.

joculator skrev:

Skaft kanske menar: ${\log }_a\left(x\right)=\frac{{\log }_b\left(x\right)}{{\log }_b\left(a\right)}$

Men att detta räknas som en 'logaritmlag' har jag inte hört tidigare.
Observera att jag bara gissar vad Skaft menar. Något som jag förmodligen inte borde göra.

Du gissar rätt =) När jag fick lära mig lagarna stod denna med bland de andra. Men vilken stämpel man sätter på den är väl lite potejto potahto.

Skaft skrev:

joculator skrev:

Skaft kanske menar: ${\log }_a\left(x\right)=\frac{{\log }_b\left(x\right)}{{\log }_b\left(a\right)}$

Men att detta räknas som en 'logaritmlag' har jag inte hört tidigare.
Observera att jag bara gissar vad Skaft menar. Något som jag förmodligen inte borde göra.

Du gissar rätt =) När jag fick lära mig lagarna stod denna med bland de andra. Men vilken stämpel man sätter på den är väl lite potejto potahto.

I vilken mattekurs får man lära sig dessa lagar? Och om det står lg(20). Ska man anta att de menar log_10(20) då användningen av tiologaritmer är standard om det inte har sagts något annat? 

Ja, "lg" är förkortning av "log_10". Basbyte av logaritmer trodde jag var del av kurs 2, men jag kan ha fel där.

EDIT: Och på samma sätt är "ln" förkortning av "log_e".