Halveringstid
Hej!
Jag behöver akut hjälp med den här uppgiften (18):
Jag vet inte hur jag ska börja alls.
Radioaktivt sönderfall följer
N(t) = N0e-αt
Kommer du vidare?
Jag har alltid haft svårt för läroböckerna här. Mitt förslag, take or leave:
Låt a dygn vara en tidsenhet.
Då är förändringsfaktorn för en tidsenhet p/100
Om förändringsfaktorn för x tidsenheter är 1/2 har vi
(p/100)x = 0,5
Det ger x = (log 0,5) / [log(p/100)]
Och halveringstiden är ax = a (log 0,5) / [log(p/100)] dygn.
Det var ett jättebra förslag. Jag såg dock nu att man kunde utgå från formeln: y = y0 ×0,5x/T
Jag förstår dock inte hur man kommer fram till det. Kan någon förklara?
Här är halveringstiden T gissar jag.
Sätt in i formeln
y/y0 = 0,5x/T
p/100 = 0,5a/T
och lös ut T.
Själv föredrar jag att förlita mig så litet som möjligt på utantillformler.
Jag förstår dock inte hur man baserat på infon i uppgiften kan komma fram till formeln. Alltså hur ska man göra?
Ta först ett enkelt fall. Om det var 25 % kvar efter ett dygn (alltså om p=25) vad är då halveringstiden?
Grunden är att du har en tidsenhet. Det kan vara sekunder, år, 5 timmar – hur långt eller kort som helst.
Vid exponentiell tillväxt (eller avtagande) finns det en tillväxtfaktor k som är kopplad till tidsenheten.
Om du startar med mängden A så har du mängden Ak efter en tidsenhet.
Efter x tidsenheter har du mängden A kx.
I uppgift 18 kan vi tänka att du startar med mängden 1. Efter a dygn återstår mängd p/100. Så med 1 tidsenhet = a dygn är tillväxtfaktorn p/100.
Efter x tidsenheter är mängden 0,5.
Det ger (p/100)x = 0,5.
Jag tror du fixar att lösa ekvationen. Du loggar båda led
log (p/100)x = log 0,5
”Flytta ner” x.
x log(p/100) = log 0,5
x = (log 0,5) / log (p/100)
Så efter x tidsenheter är mängden halverad. Varje tidsenhet är a dygn.
Svar: Halveringstiden är a (log 0,5) / log (p/100).
Testa med ett exempel: Säg att efter en vecka återstår 37%.
x = log 0,5 / log 0,37
x ≈ 0,69715
en vecka är 7 dygn. Halveringstiden är 7x ≈ 4,88 dygn.
Jag tror att jag har kommit fram till något, men är lite osäker på redovsiningen. Ser detta bra ut?
Är det rätt att blanda in T så som jag har gjort?
Redovisningen, nja. Kan bantas.
Kalla inte förändrfakt för ff. Kalla den hellre f.
Och skriv ut att f är förändrfakt för 1 dygn.
Då tycker jag du genast kan skriva fa = p/100, du behöver inte blanda in y och c.
Det ger f = (p/100)(1/a)
Sedan skulle jag skriva att halvtid T ger
fT = 0,5
Det ger (p/100)(T/a) = 0,5
T/a = (lg 0,5) / [lg(p/100)]
T = (a lg 0,5) / [(lg p) – 2]
