Halvcirkel masscentrum

Hej, jag har problem med att räkna ut masscentrum för en halvcirkel. Den har radie $R$ och konstant densitet 1.

Jag vill ha masscentrumets koordinater i polära koordinater, så:

$\displaystyle x=\frac{1}{\text{Area}}(\int\int_D \theta dA, \int\int_D r dA)=\{dA=rdrd\theta\}$

$\displaystyle =\frac{2}{\pi R^2}(\int^{\pi}_0 \int ^R _0 \theta r \; drd\theta ,\; \int^{\pi}_0 \int ^R _0 r^2 drd\theta)$

$\displaystyle =\frac{2}{\pi R^2}(\frac{1}{4}R^2\pi ^2, \; \frac{R^3\pi}{3})$

Det saknas ett $\text{sin}(\theta)$ i integranden i $r$ -integralen, men varför ska den vara där?

Du integrerar r med dA som vikt och delar med den totala arean. Det borde inte ge masscentrums radiella koordinat.

Om du inte vill använda kartesiska koordinater så kan du väl skriva

$\mathbf{r}_G=\dfrac{\int \mathbf{r}dA}{\int dA}$

med polära koordinater som

$\int \mathbf{r}dA=\int\int r\mathbf{e}_rrdrd\theta$

Nu är ju inte basvektorn e_r en konstant vektor. I medeltal pekar den "uppåt" på en halvcirkel. Därav kommer sin(theta) in i bilden.

Om du vill skaffa dig en intuition kring hur det fungerar skulle jag härleda från början. Chansa inte bara på att viktad koordinat delad på area ger masscentrum.

Alltså, bygg upp halvcirkeln av infinitesimala element och försök beräkna punkten där statisk jämvikt råder mellan elementens areamoment. Du kommer nog strax märka att de polära vektorerna inte är lämpliga för det du vill göra utan används helst till helt andra saker.

Nu hade du lite "tur" att du fick rätt vinkelkoordinat till π/2.

Ta ett annat exempel med en hel och homogen cirkel med ekvation r = R. Din metod skulle ge att masscentrums radiella koordinat var R (all massa ligger ju R från mitten) och att vinkeln var π. Masscentrums hamnar då på en punkt på cirkeln. Rimligt?

Om du vill skaffa dig en intuition kring hur det fungerar skulle jag härleda från början. Chansa inte bara på att viktad koordinat delad på area ger masscentrum.

Okej! Och ja, det var en vild gissning, jag kopierade bara från wikipedia.

Nu hade du lite "tur" att du fick rätt vinkelkoordinat till π/2.

I see

Men $\displaystyle e_r=e_ysin(\theta)+e_xcos(\theta)$ ?

Qetsiyah skrev:

Men $\displaystyle e_r=e_ysin(\theta)+e_xcos(\theta)$ ?

Ja, precis.

Sätter jag då in det? Då tillkommer ju en $e_xcos(\theta)$ ?

Och det du skrev i ditt första inlägg, är det rätt? Vi integrerar inte någon basvektor, vi integrerar en koordinat. Bytet som jag ska göra är y=rsin(tet)

Du ska integrera

$\int \mathbf{r}dA$

och dela på total area.

I polära koordinater så är

$\mathbf{r}=r\mathbf{e}_r$

I kartesiska koordinater så är

$\mathbf{r}=x\mathbf{e}_x+y\mathbf{e}_y$

I kartesiska koordinater så blir det bara att integrera koordinaterna eftersom basvektorerna är konstanta och kan flyttas utanför integralen. Sedan kan man beräkna integralerna i polära koordinater om man vill.

Svara

Visa senaste svar