Hållfasthetslära: Styvhets/Flexibilitets matris

I första steget säger man att $u_1 = 1$ och $u_2 =0$ vilket skapar förskjutningsvektorn för frihetsgraderna hos våra massor som $\mathbb{u} = (1,0)$.

Sedan tittar man på vilka krafter som massorna utsätts för då vilket blir $F_1 = 2EA/L$ och $F_2 = -EA/L$. Kraften på första massan är från två stänger uppåt. Kraften på andra massan är från en stång nedåt. Hookes samband är som bekant $F = -k\cdot u$ vilket är varför tecknen ovan blir vad de blir.

Vi får då fram styvheterna $k_{11}=2EA/L$ och $k_{21} = -EA/L$ där alltså index 21 kan utläsas som "Hur 2 påverkas av 1". Vi gör på samma sätt när vi formulerar $\mathbb{u} = (0,1)$. Sedan skapar vi helt enkelt $\mathbb{k}$ från detta.

Sedan kan vi också spara oss arbete genom att komma ihåg att styvhetsmatrisen nästan alltid är symmetrisk med få undantag så $k_{12}=k_{21}$.

SaintVenant skrev:

I första steget säger man att $u_1 = 1$ och $u_2 =0$ vilket skapar förskjutningsvektorn för frihetsgraderna hos våra massor som $\mathbb{u} = (1,0)$.

Sedan tittar man på vilka krafter som massorna utsätts för då vilket blir $F_1 = 2EA/L$ och $F_2 = -EA/L$. Kraften på första massan är från två stänger uppåt. Kraften på andra massan är från en stång nedåt. Hookes samband är som bekant $F = -k\cdot u$ vilket är varför tecknen ovan blir vad de blir.

Vi får då fram styvheterna $k_{11}=2EA/L$ och $k_{21} = -EA/L$ där alltså index 21 kan utläsas som "Hur 2 påverkas av 1". Vi gör på samma sätt när vi formulerar $\mathbb{u} = (0,1)$. Sedan skapar vi helt enkelt $\mathbb{k}$ från detta.

Sedan kan vi också spara oss arbete genom att komma ihåg att styvhetsmatrisen nästan alltid är symmetrisk med få undantag så $k_{12}=k_{21}$.

Tack! Mycket bättre förklarat än facit :)

Kanske en konstig fråga, men hur fick du fram till F_1 och F_2 till just dem krafterna? Hur skulle friläggningen se ut om man ritar ut alla krafter?

Till lösningsförslagets försvar tror jag att det är meningen att man ska ha koll på teori och tillvägagångssätt när man studerar det. Sedan vet jag att så inte alltid är fallet utan att det för den delen är studentens fel.

Om du frilägger massa 1 efter du dragit ned den 1 längdenhet (hållit massa 2 stilla) så får du en kraft ovanifrån och en kraft nedifrån. Nu är det konstigt att ha "stålwire" då det skulle vara ett kaotiskt system och inte följer vad vi löst i detta problem men om vi har stänger blir det enkelt. Stången ovan kommer dras ut och stången nedan kommer tryckas ihop. Med hookes lag kan du enkelt göra en korrekt friläggning. 

Om du frilägger massa 2 efter du dragit ned den 1 längdenhet (hållit massa 1 stilla) så får du en kraft ovanifrån. 

Nu kanske du undrar varför vi inte har med tyngdkraften i kraftmatriserna. Fundera på det ett tag.