Hållfasthetslära: spänningstillstånd 2D

Varför skulle de vara ekvivalenta?

Uttryck spänningstensorn för det andra tillståndet först i ett koordinatsystem som är vridet 45 grader i förhållande till xy-styemet. I detta koordinatsystem så ser spänningstensorn (dvs dess komponentframställning) lika ut som spännigstensorn (dvs dess komponentframställning) för det första tillståndet uttryckt i xy-systemet. Sedan måste vi transformera tensorns komponenter till xy-sytemet innan vi kan addera. Efter tranformation får vi andra komponenter.

Spänningsmatrisen för det första spänningstillståndet A är

(S^A_ij) = $\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 200\end{array}\right]$ relativt xy-systemet.

Spänningsmatrisen för det andra spänningstillståndet B är relativt ett (primmat) koordinat system som är roterat 45˚ (moturs) relativt xy-systemet

(S’^B_ij) = $\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 200\end{array}\right]$.

Vi vill ha spänningsmatrisen (S^B_ij) för B uttryckt i xy-systemet och får därför utnyttja transformationslagarna för tensorer

(S^B_ij) = $\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right]$$\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 200\end{array}\right]$$\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc}100& -100\\ -100& 100\end{array}\right]$. 

Bilden föreställer ett karaktäristiskt infinitesimalt element hos plåten vilket belastas enligt de två olika dragspänningstillstånden.

Det är alltså inte plåten som är fyrkanten vilket du verkar tro eftersom du skriver att tillstånden är ekvivalenta.

Om du fortfarande tycker att de är ekvivalenta tänk på vad töjningarna i x- och y-led blir för respektive tillstånd. De blir naturligtvis olika och därför är de inte ekvivalenta i det koordinatsystemet. 

Tack PATENTERAMERA, tack Ebola.

Det är alltså inte plåten som är fyrkanten vilket du verkar tro eftersom du skriver att tillstånden är ekvivalenta.

Ja, så var det, jag gav mig på uppgifterna lite för tidigt, jag hade inte läst teorin ordentligt än, men nu vet jag vad det betyder.