Hållfasthetslära: "Enaxliga tillstånd"

Tillstånd: Spännings- och töjningstillstånd. Kommer från tensorbeskrivningen av punkter hos objektet modellerade som karakteristiska infinitesimala element i form av kuber:

Läs mer om det i kapitel 9. Ibland börjar man faktiskt undervisningen med kapitel 9.

Enaxliga tillstånd: Spänning och töjning i endast en riktning. Tensorn reduceras till en skalär.

Jag skulle bli vän med denna wikisida om jag var du:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Cauchy_stress_tensor

Tillägg: 23 jan 2022 18:17

Kan ett objekt befinna sig i ett tillstånd som är enaxligt? 

Ja, om du drar med en lika stor kraft $F$ på båda sidor av ett objekt med tvärsnittsarea $A$ är tillståndet enaxligt för varje punkt inuti materialet. Detta därför att du enbart har en spänning $\sigma_{xx} = F/A$ i en riktning:

$\overset{=}{\sigma}= \left[{\begin{matrix} \sigma _{xx} & \tau _{xy} & \tau _{xz} \\ \tau _{yx} & \sigma _{yy} & \tau_{yz} \\ \tau _{zx} & \tau_{zy} & \sigma _{zz} \end{matrix}}\right] = \left[\sigma_{xx}\right]$

Got it, got it.

Läs mer om det i kapitel 9. Ibland börjar man faktiskt undervisningen med kapitel 9.

Åh JA, det hade jag velat göra, yes please. Jag glömde totalt att stresstensorn var en av sakerna jag såg fram emot att lära mig om i hållf, första gången i alla fall jag stöter på en tensor i en fysikkurs.

Vad betyder "ibland"? Vilken kurs i vilket program?

Angående stresstensorn som specialfall: det är inte så att du menar att de åtta andra elementen i matrisen blir noll? Eller det kanske är samma.

Edit: plötsligt blev kapitel 2-3 mycket enklare att fatta

Men en sak fattar jag inte helt. Kuben i bilden du visar (eller den i Wiki) föreställer ett volymselement i ett kontinuum och stresstensorn är definierad i varje punkt i kontinuumet. Multiplicering med (1,0,0) eller (0,1,0) eller (0,0,1) ger alltså spänningstillståndet på den infinitesimala ytan med den vektorn som normal (utåt). Men tex vektorn (1,1,1) är inte normal till någon av kubens sidor så vad blir det för nånting? 

Mitt svar: kubens orientering kan ändras (så att (1,1,1) sammanfaller med en sida) men den är egentligen inte intressant eftersom vi pratar om ett volyms- respektive ytelement.

Mitt svar#2: Det går att tänka $(1,1,1)\sigma=(1,0,0)\sigma+(0,1,0)\sigma+(0,0,1)\sigma$ och dessa tre termer skulle alltså makea sense.

Att beräkna spänningstillstånd i en specifik riktning är faktiskt ett intressant problem. Egenvärden och egenvektorer hos matris-representationen av spänningstensorn ger något som kallas huvudspänningar och huvudspänningsriktningar. Det är de riktningar där det på "kubens yta där riktningen är normal" inte anbringas några skjuvspänningar. Alltså där du enbart har normalspänningar i form av huvudspänningarna.

Precis som du säger är det en infinitesimal kub vilket gör att orientering till synes ej förändrar arean på den. Jag skulle inte gå händelserna i förväg där utan det kommer också bli tydligare när ni kommer till kapitel 9.

Jag vet att man går igenom allmänna tillstånd först i Lund, på vissa Chalmers-program, Karlstad och någon nämnde det som pluggade i Luleå. 

Qetsiyah skrev:

Angående stresstensorn som specialfall: det är inte så att du menar att de åtta andra elementen i matrisen blir noll? Eller det kanske är samma.

Jo, precis. De är noll då. Du kan ha treaxligt, tvåaxligt och enaxligt tillstånd.

Du kommer lära dig att om du har tvåaxligt tillstånd finns det verktyg som förenklar beräkningarna avsevärt. Detta innebär naturligtvis att om du har en huvudspänning i någon riktning kan du orientera ditt system vinkelrät till denna riktning och automatiskt försäkra dig om ett plant spänningstillstånd. Detta därför att det med säkerhet inte finns skjuvspänningar på ytan.

(Bara en liten hint för framtiden)

Qetsiyah skrev:

Men tex vektorn (1,1,1) är inte normal till någon av kubens sidor så vad blir det för nånting? 

Det blir tre gånger den hydrostatiska spänningen och alltså lika med tensorns första invariant:

$3\sigma_h =I_1=\sigma_{xx}+\sigma_{yy}+\sigma_{zz}$

Hydrostatiska spänningen är alltså ett medelvärde på de tre enaxliga spänningarna. Som du ser är detta så klart "trace" av tensorns matrisrepresentation. Därmed är det också första koefficienten i den karakteristiska ekvationen. Smidigt att det hänger ihop så väl va?

Det är de riktningar där det på "kubens yta där riktningen är normal" inte anbringas några skjuvspänningar.

Kan du skriva det här en gång till lite enklare?

Du menar som jag skrev innan att kuben inte har någon sida riktad mot (1,1,1), men en hypotetisk sida riktad mot det hållet skulle inte känt av någon skjuvspänning?

Jag vet att man går igenom allmänna tillstånd först i Lund, på vissa Chalmers-program, Karlstad och någon nämnde det som pluggade i Luleå. 

Är det typ program som maskinteknik där de redan kan en del innan de börjar kursen? Det här perspektivet hade jag velat ta på kursen, känns som att det passar tekniska fysiker. Jag vet att på KTH så är elektroteknik och teknisk fysik de enda programmen som innehåller en kurs i vektoranalys, hur gör de andra programmen när de ska ta hållf när de inte vet einstein summering och om tensorer?

Bara en till grej jag måste fråga för säkerhetsskull. Anledningen vi inte har unika spänningstillstånd i alla sex av kubens sidor är att en komponent T_ij på en sida är samma som att applicera -T_ij på motsatt sida?

Ebola skrev:

Det blir tre gånger den hydrostatiska spänningen och alltså lika med tensorns första invariant:

$3\sigma_h =I_1=\sigma_{xx}+\sigma_{yy}+\sigma_{zz}$

Hydrostatiska spänningen är alltså ett medelvärde på de tre enaxliga spänningarna. Som du ser är detta så klart "trace" av tensorns matrisrepresentation. Därmed är det också första koefficienten i den karakteristiska ekvationen. Smidigt att det hänger ihop så väl va?

Det hade varit coolt om jag också var övertygad att det var sant! För det första hur kan multiplikation med en radvektor från vänster skapa en skalär?? Hur försvinner off-diagonala elementen?

Du kan svara på det här senare men varför multiplicerar vi ens med en radvektor istället för en kolumnvektor från höger?

I en youtubevideo står det såhär:

Jag ser nu att jag snurrade till mina svar en aning samt kanske förvirrade mer än nödvändigt. Hektisk vecka just nu; jag återkommer när jag hittar tid att rätta, svara och förtydliga.