Hållfasthetlära - Friläggning (Fysik/Universitet)

På andra raden står det att temperaturen höjs med 20 grader. Vad händer med balken då?

Mega7853 skrev:
På andra raden står det att temperaturen höjs med 20 grader. Vad händer med balken då?

expanderar, men det står att balken är stel alltså vi ska inte räkna med balkens deformation

Finns det något mer som expanderar, t.ex. stängerna? Och hur påverkar det isåfall balken?

Mega7853 skrev:
Finns det något mer som expanderar, t.ex. stängerna? Och hur påverkar det isåfall balken?

stängerna expanderar alltså kommer de trycka mot balken. Eller?

Ja, men expanderar de lika mycket? Trycker de allihop då?

Och som du själv föreslog så expanderar även balken, men med tanke på att det inte står något om dess material så ska man nog ignorera det.

Mega7853 skrev:
Ja, men expanderar de lika mycket? Trycker de allihop då?
Och som du själv föreslog så expanderar även balken, men med tanke på att det inte står något om dess material så ska man nog ignorera det.

stål expanderar mindre än aluminuim, alltså kommer de stängerna på sidan ha en motsatt kraft till stången i mitten. Är jag på rätt väg?

Ja, det verkar rätt. Jag har faktiskt dålig koll på fortsättningen av uträkningen. Jag ville bara påpeka att du missat en viktig del av uppgiften och hoppades att det skulle leda dig på rätt väg.

Nej, friläggning och jämviktsekvationer är fel oberoende av temperaturhöjningen.

När du frilägger balken påverkas den av en utbredd last och tre krafter från vardera stång. Riktning och storlek på dessa krafter beror på den termiska utvidgningskoefficienten hos materialen. Denna är ca dubbelt så stor för aluminium som för stål vilket betyder att stången av aluminium kommer påverkas av kompressionsspänningar på grund av den termiska lasten.

Det är standard att frilägga systemet med krafterna ut från ditt objekt och låta dina uträkningar bestämma riktningen. Detta därför att det är svårt att på rak arm veta riktningen eftersom den termiska lasten kan orsaka större spänningar än den utbredda dito.

Ebola skrev:
Nej, friläggning och jämviktsekvationer är fel oberoende av temperaturhöjningen.
När du frilägger balken påverkas den av en utbredd last och tre krafter från vardera stång. Riktning och storlek på dessa krafter beror på den termiska utvidgningskoefficienten hos materialen. Denna är ca dubbelt så stor för aluminium som för stål vilket betyder att stången av aluminium kommer påverkas av kompressionsspänningar på grund av den termiska lasten.
Det är standard att frilägga systemet med krafterna ut från ditt objekt och låta dina uträkningar bestämma riktningen. Detta därför att det är svårt att på rak arm veta riktningen eftersom den termiska lasten kan orsaka större spänningar än den utbredda dito.

så här då eller?

$↓ : 2 F s + F - F a l = 0$

MatMan skrev:
så här då eller?

$↓ : 2 F s + F - F a l = 0$

Förresten, jag tror du har glömt moment utifrån vad jag förstått av uppgiften. Stängerna verkar vara fast inspända i balken.

Det är oklart från bilden och om så är fallet är uppgiften ganska komplicerad.

Ebola skrev:
MatMan skrev:
så här då eller?

$↓ : 2 F s + F - F a l = 0$
Förresten, jag tror du har glömt moment utifrån vad jag förstått av uppgiften. Stängerna verkar vara fast inspända i balken.
Det är oklart från bilden och om så är fallet är uppgiften ganska komplicerad.

i uppgiften står det att "balken är monterad på stängerna så att det kan aldrig uppkomma en spalt mellan dessa (fast kopplad till varandra)"

MatMan skrev:
Ebola skrev:
MatMan skrev:
så här då eller?

$↓ : 2 F s + F - F a l = 0$
Förresten, jag tror du har glömt moment utifrån vad jag förstått av uppgiften. Stängerna verkar vara fast inspända i balken.
Det är oklart från bilden och om så är fallet är uppgiften ganska komplicerad.
i uppgiften står det att "balken är monterad på stängerna så att det kan aldrig uppkomma en spalt mellan dessa (fast kopplad till varandra)"

Hm. Nej, kan inte vara fast inspänning. Då krävs det att du använder superposition av elementarfall eller lösning med elastiska linjens differentialekvation.

Det är nog rätt så som du har gjort. Då är inte heller situationen statiskt obestämd som jag skrev i din andra fråga. Tänk på att du egentligen inte vet riktningarna på krafterna förrän du räknat ut dem på grund av den termiska lastens inverkan. Det kan vara så att aluminium-stången utvidgas ganska lite och därmed inte övervinner både två $2F_{s}$ och $F=2qa$ .

Ebola skrev:
MatMan skrev:
Ebola skrev:
MatMan skrev:
så här då eller?

$↓ : 2 F s + F - F a l = 0$
Förresten, jag tror du har glömt moment utifrån vad jag förstått av uppgiften. Stängerna verkar vara fast inspända i balken.
Det är oklart från bilden och om så är fallet är uppgiften ganska komplicerad.
i uppgiften står det att "balken är monterad på stängerna så att det kan aldrig uppkomma en spalt mellan dessa (fast kopplad till varandra)"
Hm. Nej, kan inte vara fast inspänning. Då krävs det att du använder superposition av elementarfall eller lösning med elastiska linjens differentialekvation.
Det är nog rätt så som du har gjort. Då är inte heller situationen statiskt obestämd som jag skrev i din andra fråga. Tänk på att du egentligen inte vet riktningarna på krafterna förrän du räknat ut dem på grund av den termiska lastens inverkan. Det kan vara så att aluminium-stången utvidgas ganska lite och därmed inte övervinner både två $2F_{s}$ och $F=2qa$ .

Jag kanske måste använda superposition , för att vi går genom superposition och statiska obestämda fall den här veckan, alltså uppgiften måste vara kopplad till det vi läser

MatMan skrev:
Jag kanske måste använda superposition , för att vi går genom superposition och statiska obestämda fall den här veckan, alltså uppgiften måste vara kopplad till det vi läser

Hm, okej. Ja, då får du göra en ny friläggning där även reaktionsmoment uppträder vid varje inspänning.

Gör det och ställ upp jämviktsekvationer. Hur många ekvationer och hur många okända får du?

Ebola skrev:
Hm, okej. Ja, då får du göra en ny friläggning där även reaktionsmoment uppträder vid varje inspänning.
Gör det och ställ upp jämviktsekvationer. Hur många ekvationer och hur många okända får du?

jag vet inte riktigt hur jag ska göra det, ska jag behålla min friläggning och lägga till moment

MatMan skrev:
jag vet inte riktigt hur jag ska göra det, ska jag behålla min friläggning och lägga till moment

Vad tror du om detta:

Som du ser har vi sex okända. Finns det någon symmetri du kan utnyttja här?

Ebola skrev:
MatMan skrev:
jag vet inte riktigt hur jag ska göra det, ska jag behålla min friläggning och lägga till moment
Vad tror du om detta:
Som du ser har vi sex okända. Finns det någon symmetri du kan utnyttja här?

symmetri i y-led?

MatMan skrev:
symmetri i y-led?

Känns det rimligt om $F_{1} = F_{3}$ och $M_{1} = M_{3}$ ?

Ebola skrev:
MatMan skrev:
symmetri i y-led?
Känns det rimligt om $F_{1} = F_{3}$ och $M_{1} = M_{3}$ ?

ja väll, stängerna är ju lika alltså måste kraften och moment vara lika?

MatMan skrev:
ja väll, stängerna är ju lika alltså måste kraften och moment vara lika?

Jag tycker det också! Frågan är om vi kan bevisa det på något vis? Vad händer om du skulle dela balken på mitten och göra jämviktsberäkningar?

Får du några inre moment och spänningar i balken?

Ebola skrev:
MatMan skrev:
ja väll, stängerna är ju lika alltså måste kraften och moment vara lika?
Jag tycker det också! Frågan är om vi kan bevisa det på något vis? Vad händer om du skulle dela balken på mitten och göra jämviktsberäkningar?
Får du några inre moment och spänningar i balken?

jag vet inte om det blir något moment, vi har inte gått genom inre moment så mycket

men spänning måste det bli

Men om vi tänker så här.

Balken och stängerna sitter ihop, alltså det finns tvång i systemet så det måste finnas spänningar.

Aluminium vill expandera mer än stålet. Detta leder till att alu stången måste bli kortare och stål stången måste blir längre

$A l u \Rightarrow t r y c k \Rightarrow - N S t å l \Rightarrow d r a g \Rightarrow N a l l t s å δ_{s} = δ_{a l}$

Är jag ute och cyklar nu?

MatMan skrev:
$δ_{s} = δ_{a l}$

Detta stämmer alltid på grund av att vi har att göra med en stel balk. Det är detta som är ditt "deformationsvillkor". Vad innebär detta för krafterna inuti stängerna?

Det som du inte kan veta säkert däremot är huruvida den utbredda lasten är tillräckligt stor för att orsaka kompressionsspänningar i alla tre stänger. Föreställ dig att alla tre stänger upplever en termisk last på $E_{i} \alpha_{i} \Delta T$ där $\Delta T = 1$ $^{\circ} C$ men den utbredda lasten är enorm (på många kilonewton).

Är du med på vad jag menar?

jag vet inte om det blir något moment

Inte jag heller. Jag tycker du borde fråga din lärare om stängerna är fast inspända i den mån att de utsätts för moment vid fästpunkten. Beskrivningen är i min mening ganska oklar.

Kan vara trist om vi slösar massa tid på att lösa ett synnerligen komplicerat problem när problemet egentligen är betydligt enklare.

Vad innebär detta för krafterna inuti stängerna?

Att de är lika?

Föreställ dig att alla tre stänger upplever en termisk last på EiαiΔTEiαiΔT där ΔT=1ΔT=1 C∘C∘ men den utbredda lasten är enorm (på många kilonewton).
Är du med på vad jag menar?

inte riktigt, menar du att om den utbredda lasten är jätte stor så kommer det finnas spänningar i stängerna?

fråga din lärare

Ska fråga om vi har något moment i systemet

MatMan skrev:
Vad innebär detta för krafterna inuti stängerna?
Att de är lika?

Lite dåligt ställd fråga kanske. Det innebär att du kan få fram en relation mellan krafterna från deformationssamband. Du har hooke's generaliserade lag som:

$\displaystyle \epsilon_{i} = \frac{\sigma_{i}}{E_{i}} + \alpha_{i} \Delta T$

Du har även relationen mellan töjning och deformation som:

$\delta_{i} = L_{i} \epsilon_{i}$

Detta ger med ditt deformationsvillkor $\delta_{s} = \delta_{al}$ att:

$\displaystyle L \cdot \left(\frac{\sigma_{s}}{E_{s}} + \alpha_{s} \Delta T \right) = L \cdot \left(\frac{\sigma_{al}}{E_{al}} + \alpha_{al} \Delta T \right)$

$\displaystyle \left(\frac{\sigma_{s}}{E_{s}} + \alpha_{s} \Delta T \right) = \left(\frac{\sigma_{al}}{E_{al}} + \alpha_{al} \Delta T \right)$

Eftersom spänningen i stängerna relaterar till krafterna och momenten kan vi sedan ta fram en till ekvation från detta. Vi måste dock vänta tills du får svar av din lärare innan vi kan använda detta resultat.

inte riktigt, menar du att om den utbredda lasten är jätte stor så kommer det finnas spänningar i stängerna?

Alla spänningar kommer vara kompressionsspänningar vid en viss storlek på den utbredda lasten. Alltså kommer inte stålstängerna utsättas för dragspänningar så som om det bara hade funnits temperaturlaster (på grund av olika utvigdningskoefficienter).

Ebola skrev:
Vi måste dock vänta tills du får svar av din lärare innan vi kan använda detta resultat.

Läraren säger att det inte finns något moment i systemet

MatMan skrev:
Läraren säger att det inte finns något moment i systemet

Bra. Kommer du vidare då? Du ser lösningen under spoiler nedan.

Lösning

Du har gjort denna friläggning tidigare:

Vi får jämviktsekv. som:

$\uparrow :$ $\displaystyle F_{1} + F_{2} + F_{3} - Q = 0$
$\displaystyle \overset{2}{\circlearrowleft}:$ $F_{3} \cdot a - F_{1} \cdot a = 0$
$\displaystyle \overset{1}{\circlearrowleft}:$ $F_{3} \cdot 2a + F_{2} \cdot a - Q \cdot a= 0$

Ekvation 2 ger något man vet från symmetri:

$F_{1} = F_{3}$

Ekvation 3 ger:

$F_{2} = Q - 2F_{3}$

Ekvation 1 ger nu:

$\displaystyle F_{3} + Q - 2F_{3} + F_{3} - Q = 0 \iff 0 = 0$

Alltså ingen ny information. Problemet är statiskt obestämt, vi behöver en till ekvation.

Ebola skrev:
vi behöver en till ekvation

Men hur ska jag ta fram en ny ekvation från detta.

$α_{s} Δ T * L + \frac{F_{s} * L}{A_{s} * E_{s}} = α_{a l} Δ T * L + \frac{F_{a l} * L}{A_{a l} * E_{a l}}$

menar du att jag ska bryta ut F(al) eller F(s) från den ekvationen?

Om det är det jag ska göra så kan jag bara byta F(al)mot $F - 2 F_{s}$

sedan bryta ut Fs och och räkna.

MatMan skrev:
menar du att jag ska bryta ut F(al) eller F(s) från den ekvationen?

Ja, precis.

Om det är det jag ska göra så kan jag bara byta F(al)mot $F - 2 F_{s}$
sedan bryta ut Fs och och räkna.

Vad får du om du gör det?

Ebola skrev:
MatMan skrev:
menar du att jag ska bryta ut F(al) eller F(s) från den ekvationen?
Ja, precis.
Om det är det jag ska göra så kan jag bara byta F(al)mot $F - 2 F_{s}$
sedan bryta ut Fs och och räkna.
Vad får du om du gör det?

jag får F(s) till 599123N och F(al) till 176754N

Om jag stoppar in de i första ekvationen då får jag $1375 * 10^{3} - 2 * 599123 - 176754 = 0$

alltså krafterna stämmer. Sedan ville de ha späning och då använde jag formeln $σ = \frac{F}{A}$

MatMan skrev:
jag får F(s) till 599123N och F(al) till 176754N
Om jag stoppar in de i första ekvationen då får jag $1375 * 10^{3} - 2 * 599123 - 176754 = 0$
alltså krafterna stämmer.

De stämmer med jämviktsekvationerna men eftersom du använt dem för att räkna ut krafterna säger inte det mycket om ifall de stämmer eller ej. Frågan är om de är rimliga ur en rent intuitiv synpunkt. Vad är q och vad är a?

Får du att alla krafterna i stängerna pekar uppåt?

Ebola skrev:
MatMan skrev:
jag får F(s) till 599123N och F(al) till 176754N
Om jag stoppar in de i första ekvationen då får jag $1375 * 10^{3} - 2 * 599123 - 176754 = 0$
alltså krafterna stämmer.
De stämmer med jämviktsekvationerna men eftersom du använt dem för att räkna ut krafterna säger inte det mycket om ifall de stämmer eller ej. Frågan är om de är rimliga ur en rent intuitiv synpunkt. Vad är q och vad är a?
Får du att alla krafterna i stängerna pekar uppåt?

den utbredda lasten blir 1375 kN

a=2,5m och q 275 kN/m

och alla krafter var postiva alltså pekar uppåt