Hairy ball theorem inte vektoranalys?

Algebraisk topologi studerar topologiska rum med hjälp av algebra.

En känd algebraisk topolog är den skygge ryssen G. Perelman, Fieldsmedaljör och Millenieproblem-pristagare

(P  bevisade Poincarés förmodan). 

Satsen som Qetsiyah frågar om är alltså denna:

Hairy Ball Theorem. Varje kontinuerligt vektorfält på $S^2$ har ett nollställe.

Här är $S^2=\{\mathbf{p}\in\mathbb{R}^3:\Vert \mathbf{p}\Vert =1\}$ den vanliga enhetssfären, och ett vektorfält på $S^2$ är en funktion $X:S^2\to\mathbb{R}^3$ sådant att $X(\mathbf{p})\perp \mathbf{p}$ för alla $\mathbf{p}\in S^2$.

I någon mening är ju detta så klart en sats inom vektoranalys, eftersom den handlar om vektorfält, men anledningen till att det ändå brukar klassas som ett topologiskt resultat är att man kan säga att det är sfärens topologi (alltså dess övergripande form) som tvingar varje kontinuerligt vektorfält att ha ett nollställe.

Mer precist så brukar Hairy Ball Theorem visas med hjälp av ett motsägelsebevis, där man först antar att det existerar något kontinuerligt vektorfält $X:S^2\to\mathbb{R}^3$ utan nollställen, och sedan visar att detta skulle motsäga följande väldigt fundamentala resultat om sfärens topologiska egenskaper:

Topologisk sats. Det finns ingen kontinuerlig funktion $H:[0,1]\times S^2\to S^2$ sådan att $H(0,\mathbf{p})=\mathbf{p}$ och $H(1,\mathbf{p})=-\mathbf{p}$ för alla $\mathbf{p}\in S^2$.

Öhh... vad betyder detta? Egentligen behöver man nog ha läst lite homotopiteori för att tycka att detta är ett "väldigt fundamentalt resultat" om $S^2$, men låt oss ändå försöka få någon slags intuitiv bild av vad satsen säger.

Man tänka sig att en sådan där funktion $H$ (om den existerade) skulle vara en "filmsekvens" av ett 1 sekund långt kontinuerligt förlopp, där varje punkt $\mathbf{p}\in S^2$ från det att $t=0$ tills dess att $t=1$ på något vis förflyttar sig över sfären och byter plats med sin antipodala punkt $-\mathbf{p}$ (dvs. den punkt som ligger på rakt motsatt sida av sfären), på ett sådant vis att vid varje tidpunkt $t\in [0,1]$ så beskriver $H(t,\mathbf{p})$ var punkten $\mathbf{p}$ befinner sig på sin resa mot $-\mathbf{p}$. Sådana här funktioner där en av variablerna kan ses som en "tidsvariabel" förekommer överallt inom algebraisk topologi, men första gången man stöter på dem kan det vara lite förvirrande, så här kan det vara värt att stanna upp och tänka till lite extra!

Det är väldigt svårt att föreställa sig ett sätt för alla punkter på sfären att genomföra en sådan här "hela havet stormar"-liknande förflyttning och samtidigt upprätta kontinuitet (dvs. punkterna får inte "teleportera" sig någonstans utan måste röra sig kontinuerligt över sfären, och de måste dessutom hålla ihop med sina grannar, så två punkter som börjar "nära" varandra kan inte dras isär under förloppets gång hur som helst). Men är det verkligen helt omöjligt?

Tyvärr vet jag inget bra sätt att verkligen övertyga dig om detta, utan att i en eller annan form blanda in det algebraisk-topologiska konceptet homologi, som (väldigt översiktligt) går ut på att översätta den här typen av topologiska frågeställningar till algebraiska frågeställningar, som förhoppningsvis är enklare att besvara. (I just det här fallet så kan man med homologi visa att om en sådan funktion $H$ fanns, så skulle $1=-1$ gälla i $\mathbb{Z}$, vilket så klart är absurt!) Om du är nyfiken på den här idén - att översätta topologiska frågor till algebraiska frågor - så rekommenderar jag den här videon av Tai-Danae Bradley, där hon (väldigt översiktligt) förklarar hur den kommer till uttryck när man visar ett annat klassiskt topologiskt resultat, nämligen Brouwers fixpunktsats.

Sidenote: Något som däremot går att göra, är att få alla punkter på enhetscirkeln $S^1\subseteq\mathbb{R}^2$ att byta plats med sin antipodala punkt genom ett kontinuerligt förlopp. Fundera gärna själv på hur, innan du kollar på spoilern:

Detta är en intressant och ganska viktig skillnad mellan enhetscirkelns och enhetssfärens topologi.

Men okej, tillbaks till Hairy Ball Thereom. Observationen man kan göra, är att om det fanns ett vektorfält $X:S^2\to\mathbb{R}^3$ utan nollställen, så skulle man kunna bilda en sådan där problematisk "hela havet stormar"-funktion $H$ genom att säga att varje punkt $\mathbf{p}$ ska röra sig $\pi$ längdenheter/sekund i en storcirkel (alltså "rakt fram" längs sfärens krökta yta) i den riktning som $X(\mathbf{p})$ stakar ut. Detta skulle leda till att varje punkt anländer till sin antipodal precis när $t=1$, och allt kommer vara kontinuerligt eftersom $X$ enligt antagandet var kontinuerligt. Och där, där har vi vår motsägelse!

Men notera: Steget från vektorfältet $X$ till den problematiska funktionen $H$ hängde på antagandet att $X$ inte har några nollställen! Om $X(\mathbf{p})=\mathbf{0}$ gällde för någon punkt $\mathbf{p}\in S^2$ så skulle vi inte veta i vilken riktning vi skulle skicka iväg $\mathbf{p}$ i.

Sidenote igen: Om vi vill göra kontruktionen av den problematiska funktionen $H$ lite mer precist skulle vi kunna sätta

   $H{(t,\mathbf{p})}=\cos{(t\pi)}\mathbf{p}+\sin{(t\pi)}\frac{X(\mathbf{p})}{\Vert X(\mathbf{p})\Vert}\,,$

där vi normaliserar vektorfältet genom att dividera det med $\Vert X(\mathbf{p})\Vert$, vilket förutsätter att $X(\mathbf{p})\neq \mathbf{0}$ för alla $\mathbf{p}\in S^2$.

Notera att $H$ är kontinuerlig om $X$ är kontinuerlig, att $\Vert H(t,\mathbf{p})\Vert=1$ för alla $t\in [0,1]$ och alla $\mathbf{p}\in S^2$ (så att $H(t,\mathbf{p})\in S^2$), och att $H(0,\mathbf{p})=\mathbf{p}$ och $H(1,\mathbf{p})=-\mathbf{p}$, så att detta verkligen motsäger den topologiska satsen i fråga.

Nu tittar jag på videon (det där med att knögla en karta och lägga på den hade jag hört men visste inte att det var relaterat till hairy ball!)

Det går att visa HBT med vektoranalys, Milnor hittade ett bevis för det. Se t.ex. topologicalmusings.wordpress.com/2008/07/22/analyzing-the-hairy-ball-theorem/

Man kan också förstå HBT genom Eulerkaraktäristiken på ytan. En ytas Eulerkaraktäristik (dvs antal hörn-kanter+sidor om man bygger ihop den med polygoner) beskriver hur många "skalliga punkter" där vektorfältet är noll vi måste ha räknade med tecken (mer precist, självskärningstalet för nollsektionen i tangentbunten). Det är lätt att se att sfärens E-karaktäristik är 2 (man kan t.ex se den som en tetraeder) så alltså måste den den håriga bollen ha minst ett okammat ställe (men troligen 2). Att visa att Eulerkaraktäristiken hänger ihop med kambarhet är dock ungefär lika svårt som alg.top. beviset ovan. Det har dock fördelen att vi kan se att t.ex. en "dubbeltorus"  (med två hål istället för 1 som en vanlig torus) också inte kan kammas.

Qetsiyah skrev:

Nu tittar jag på videon (det där med att knögla en karta och lägga på den hade jag hört men visste inte att det var relaterat till hairy ball!)

Min poäng (har uppdaterat mitt inlägg så att den framgår lite bättre) var mest att Tai-Danae beskriver själva det algebraisk-topologiska arbetssättet - att översätta topologiska frågor till algebraiska frågor - på ett bra sätt, men hon applicerar det på Brouwers fixpunktssats i stället för Hairy Ball Theorem.

Men du har faktiskt inte fel i att de båda satserna är relaterade - man kan faktiskt visa kartknögglingssatsen med hjälp av bollkammningssatsen!

Hurdå? Återigen kommer Milnor till undsättning. I artikeln Analytic Proofs of the “Hairy Ball Theorem” and the Brouwer Fixed Point Theorem (publicerad i American Mathematical Monthly, som är en riktig guldgruva när det kommer till lättillgängliga artiklar om spännande matematik!) ger han både en väldigt pedagogisk förklaring av beviset som JohanB refererar till, och ett bevis för hur Brouwers fixpunktsats följer av Hairy Ball Theorem. Helt klart läsvärt!

En liten varning dock för att man kanske behöver lite fler analysbegrepp än det du har hunnit se hittills (t.ex. inversa funktionssatsen, stereografisk projektion, Lipschitz-kontinuitet, och Weierstrass approximationssats), men om du fortsätter läsa matematik är det bara en tidsfråga innan du har sett alla de sakerna! 

"Lite" i efterhand är funktionen H inte alls svår att förstå (det var den då). Medan jag läste förutsåg jag att den satsen skulle implicera hairy ball, jag både älskar och hatar när det händer, jag spoilar för mig själv. Är X H:s derivata? (Typ...)

Sidenote: Något som däremot går att göra, är att få alla punkter på enhetscirkeln

Men cirkelskivan då? En punkt på cirkelskivan kommer inte uppfylla kriterierna på H. Det måste finnas motsvarande hairy ball i två dimensioner för enkelt sammanhängande mängder! Alla dimensioner?

Jag har en off topic fråga, finns det inget snyggare sätt att förmedla ett "förlopp" i sånna här sammanhang än att ansätta ett intervall [0,1]? Både ettan och nollan är godtycklig.

inversa funktionssatsen, stereografisk projektion, Lipschitz-kontinuitet, och Weierstrass approximationssats

Check, nej, check (redan då), nej.

Edit: Jag läste precis på wikipedia, denna sats verkar inte generaliseras till topologiska mångfalder som är isomorfa (rätt ord?) med sfären, varför då? Tex en amerikansk fotboll.