H går mot 0

Ummm, undrar samma sak. Fattar inte dehär med gränsvärdet 

$f(x) \rightarrow ?$ då $h \rightarrow 0$, helt enkelt att när h går mot 0 kommer funktionen gå mot något (om de inte är så att det går mot oändligheten). Det stämmer att h inte är 0, men den går mot 0. Lite som vi diskuterade i en av dina trådar igår, h kommer vara så pass nära noll att du kan utesluta det. Det stämmer att h kanske inte blir 0, men det kan vara $1\cdot 10^{-10000000000}$ och du kan ju slänga på hur många nollor som du vill. Så det är ju sant att det kommer inte bli exakt 0 men det kommer bli så litet att du kan likaväl betrakta det som om det var 0.

Dracaena skrev:

$f(x) \rightarrow ?$ då $h \rightarrow 0$, helt enkelt att när h går mot 0 kommer funktionen gå mot något (om de inte är så att det går mot oändligheten). Det stämmer att h inte är 0, men den går mot 0. Lite som vi diskuterade i en av dina trådar igår, h kommer vara så pass nära noll att du kan utesluta det. Det stämmer att h kanske inte blir 0, men det kan vara $1\cdot 10^{-10000000000}$ och du kan ju slänga på hur många nollor som du vill. Så det är ju sant att det kommer inte bli exakt 0 men det kommer bli så litet att du kan likaväl betrakta det som om det var 0.

Intressant men lite missledande för att om man ersätter h mot 0 i differenskvoten så blir nämnaren 0 

Fysikguden1234 skrev:

Dracaena skrev:

$f(x) \rightarrow ?$ då $h \rightarrow 0$, helt enkelt att när h går mot 0 kommer funktionen gå mot något (om de inte är så att det går mot oändligheten). Det stämmer att h inte är 0, men den går mot 0. Lite som vi diskuterade i en av dina trådar igår, h kommer vara så pass nära noll att du kan utesluta det. Det stämmer att h kanske inte blir 0, men det kan vara $1\cdot 10^{-10000000000}$ och du kan ju slänga på hur många nollor som du vill. Så det är ju sant att det kommer inte bli exakt 0 men det kommer bli så litet att du kan likaväl betrakta det som om det var 0.

Intressant men lite missledande för att om man ersätter h mot 0 i differenskvoten så blir nämnaren 0 

Nej , man kan inte ha 0 i nämnaren och därför ska du försöka få bort ”h” från nämnaren genom att faktorierna täljaren.

Det är av precis samma anledning till att man skulle tro att $\frac{x^2-2x}{x-2}$ är odefinierad för x=2 men det är det inte. Du måste först förenkla uttrycket innan du kan stoppa in h=0. Du kan testa att stoppa in olika värden för h utan att förkorta så ser du att $f(x)$ kommer gå mot samma gränsvärde.

Edit: det stämmer att  $\frac{x^2-2x}{x-2}$ är odef när x = 2, jag menade att säga att man skulle kunna tro att det saknar ett gränsvärde för x = 2 som det självklart inte gör. Se Smaragdalenas inlägg längre ner.

Säg att du har differenskvoten $\frac{40h+5h^2}{h}$ som i första exemplet. Eftersom vi delar med h här vet vi att h inte får vara noll. Men alla andra värden på h är tillåtna. Vi kan gå vidare och förkorta bort ett h här, och få $40+5h$.

Eftersom vi tog fram 40+5h från ett uttryck där h=0 är förbjudet, kan vi inte sätta in h=0 i 40+5h och tänka att vi "räknat ut värdet" på $\frac{40h+h^2}{h}$ för h=0. Vi kommer alltså inte runt att h=0 motsvarar en "förbjuden" punkt, vårt bråk har helt enkelt inget värde för h=0.

MEN, och det här är det krångliga, vi kan fortfarande sätta in h=0 i 40+5h och få ut gränsvärdet för $\frac{40h+h^2}{h}$ då h går mot noll. Kom ihåg att ett gränsvärde bara är något man är på väg mot, och vi får vara på väg mot en förbjuden punkt utan att bryta några regler. Tricket ligger i att de två uttrycken är exakt identiska för alla andra värden på h, och därför kommer båda uttryck vara på väg mot samma sak när h närmar sig noll. Och det "riktmärket" kan vi räkna ut genom att bara sätta in h=0 i 40+5h, eftersom det uttrycket inte har några egna invändningar mot att h=0.

Dracaena skrev:

Det är av precis samma anledning till att man skulle tro att $\frac{x^2-2x}{x-2}$ är odefinierad för x=2 men det är det inte. Du måste först förenkla uttrycket innan du kan stoppa in h=0. Du kan testa att stoppa in olika värden för h utan att förkorta så ser du att $f(x)$ kommer gå mot samma gränsvärde.

Jo, $f(x)=\frac{x^2-2x}{x-2}$ är odefinierad för x=2, eftersom det inte är tillåtet att dela med 0. Däremot kan man skriva om $\frac{x^2-2x}{x-2}=x\frac{x-2}{x-2}$och förkorta bort x-2 och få kvar bara x, vilket för att man kan få fram ett gränsvärde och t ex hitta på en kontiuerlig funktion som är $f(x)=\frac{x^2-2x}{x-2},x\neq2$ och har värdet 2 när x = 2.

Smaragdalena skrev:

Dracaena skrev:

Det är av precis samma anledning till att man skulle tro att $\frac{x^2-2x}{x-2}$ är odefinierad för x=2 men det är det inte. Du måste först förenkla uttrycket innan du kan stoppa in h=0. Du kan testa att stoppa in olika värden för h utan att förkorta så ser du att $f(x)$ kommer gå mot samma gränsvärde.

Jo, $f(x)=\frac{x^2-2x}{x-2}$ är odefinierad för x=2, eftersom det inte är tillåtet att dela med 0. Däremot kan man skriva om $\frac{x^2-2x}{x-2}=x\frac{x-2}{x-2}$och förkorta bort x-2 och få kvar bara x, vilket för att man kan få fram ett gränsvärde och t ex hitta på en kontiuerlig funktion som är $f(x)=\frac{x^2-2x}{x-2},x\neq2$ och har värdet 2 när x = 2.

Men det här gäller endast gränsvärdet. Om detta skulle vara ett vanligt utryck och om vi förkortar bort och sätter x=2 måste vi komma ihåg att det inte kommer funka. När vi förenklar ett uttryck ändrar vi väl inte dess värde. Eller är jag helt ute o cyklar hehe?

De båda uttrycken $\frac{x^2-2x}{x-2}$ och $x$ är identiska för alla värden på $x$ utom för $x=2$, eftersom det förstnämnda uttrycket inte är definierat då $x=2$.

$x=2$ ingår alltså inte i definitionsmängden för uttrycket $\frac{x^2-2x}{x-2}$.

Så ja, vi måste komma ihåg att $x=2$ inte ingår i definitionsmängden för det förenklade uttrycket $x$.

Uttryckets värde förändras därför inte av förenklingen och allt är frid och fröjd.