Gymnasiearbete - matematik

Parallaxmätningar är också något du skulle kunna testa, dvs hur man kan bedöma avstånd till stjärnor med hjälp av trigonometri. Där kan man lätt få mer djup i ämnet genom att blanda in en del fysik, t.ex. förklara stjärnans egenskaper.

Du skulle t.ex. kunna studera stjärnorna i Karlavagnen eller Orion. På natthimlen ser de lika ut men de har olika egenskaper och befinner sig på väldigt olika avstånd.

Jag tycker det låter som en utmärkt idé att skriva ett gymnasiearbete i matematik! Jag har några kommentarer på vissa av dina förslag:

Primtal: Det finns många aspekter att undersöka, såsom Euklides sats, Eratosthenes såll, Ulams spiral och primtalstvillingar. Problemet är att jag inte är säker på vad jag skulle fokusera på.

Primtal låter som ett utmärkt område att forska på/undersöka! Just primtal är ganska centrala inom exempelvis kryptering, så om du är intresserad av det vore det ett bra (och någorlunda stort) tema at skriva om. Kanske skulle du kunna testa olika krypteringsmetoder och jämföra dem? Kanske kan du hitta på en egen och jämföra den med en känd metod?

Division med noll: Detta ämne intresserar mig. Jag skulle kunna utforska frågeställningen "Varför är division med noll odefinierad?" och använda olika matematiska modeller, som grafer. Jag är dock osäker på om det räcker för ett helt gymnasiearbete.

Varför division med noll är odefinierat är ganska enkel fråga att besvara (på olika nivåer, dessutom), så jag tror tyvärr inte något sådant skulle räcka för ett gymnasiearbete. 

Eulers identitet: Denna ekvation anses vara världens vackraste eftersom den förenar flera matematiska konstanter. Jag blev mycket intresserad av den när vi läste om den i Matematik 4. Jag skulle vilja skriva om hur denna ekvation uppstår, men det är ett stort och komplicerat område, vilket gör det svårt att presentera på ett sätt som är begripligt även för dem som inte är så insatta i matematik.

Vad tycker du gör detta område stort och komplicerat? Det finns ganska korta härledningar av Eulers identitet (jag tänker specifikt på härledningar som nyttjar Taylorpolynom, man ser att en del av polynomet konvergerar mot $\cos \theta$ och att den andra konvergerar mot $i\sin \theta$).

Jag har ett förslag på en öppen fråga som jag har suttit med av och på i nästan ett år nu men inte lyckas lösa. Kanske lyckas du? :)

På ett oändligt stort schackbräde står en springare på en ruta med koordinater $(x_1,y_1)$ (vi tänker oss ett kartesiskt koordinatsystem där varje ruta motsvarar en punkt). Finns det en sluten formel för det minsta antal drag springaren behöver för att ta sig till en godtycklig ruta $(x_2,y_2)$?

Infinitesimaler är annars kul. Det har nog ingen annan gjort ett gymnasiearbete på:)

Teraeagle skrev:

Parallaxmätningar är också något du skulle kunna testa, dvs hur man kan bedöma avstånd till stjärnor med hjälp av trigonometri. Där kan man lätt få mer djup i ämnet genom att blanda in en del fysik, t.ex. förklara stjärnans egenskaper.

Du skulle t.ex. kunna studera stjärnorna i Karlavagnen eller Orion. På natthimlen ser de lika ut men de har olika egenskaper och befinner sig på väldigt olika avstånd.

Ah ja, men är det rekommenderat att blanda in något annat ämne i mitt gymnasiearbete? Fysik kan fungera men det vore mer praktiskt. Det skulle komplicerat för mig att lägga mycket tid på att gå ut och observera himmeln och tror inte att det finns rätta verktyg för mig. Jag tänker fokusera på matematik ändå.

Lite åt Pythagoras, men Euklides Elementa är intressant. Vad "de gamla grekerna" gjorde med passare och vinkelhake/linjal och vad de försökte men ingen lyckades bevisa förrän 2000 år senare. Över huvud taget har ju Elementan varit "sanning" i typ 1000 år, så verket är värt ett specialarbete.

Skriver du något som har med pi att göra, så missa inte denna historia. Läs den oavsett, för den är riktigt rolig.

naytte skrev:

Jag tycker det låter som en utmärkt idé att skriva ett gymnasiearbete i matematik! Jag har några kommentarer på vissa av dina förslag:

Primtal: Det finns många aspekter att undersöka, såsom Euklides sats, Eratosthenes såll, Ulams spiral och primtalstvillingar. Problemet är att jag inte är säker på vad jag skulle fokusera på.

Primtal låter som ett utmärkt område att forska på/undersöka! Just primtal är ganska centrala inom exempelvis kryptering, så om du är intresserad av det vore det ett bra (och någorlunda stort) tema at skriva om. Kanske skulle du kunna testa olika krypteringsmetoder och jämföra dem? Kanske kan du hitta på en egen och jämföra den med en känd metod?

Jag gillar verkligen inte datateknik. Om det handlar om hemliga koder, kanske det fungerar. Dock känner jag mig inte motiverad för det, så det är inget för mig.

Division med noll: Detta ämne intresserar mig. Jag skulle kunna utforska frågeställningen "Varför är division med noll odefinierad?" och använda olika matematiska modeller, som grafer. Jag är dock osäker på om det räcker för ett helt gymnasiearbete.

Varför division med noll är odefinierat är ganska enkel fråga att besvara (på olika nivåer, dessutom), så jag tror tyvärr inte något sådant skulle räcka för ett gymnasiearbete. 

Sant, jag får skippa detta föreslag.

Eulers identitet: Denna ekvation anses vara världens vackraste eftersom den förenar flera matematiska konstanter. Jag blev mycket intresserad av den när vi läste om den i Matematik 4. Jag skulle vilja skriva om hur denna ekvation uppstår, men det är ett stort och komplicerat område, vilket gör det svårt att presentera på ett sätt som är begripligt även för dem som inte är så insatta i matematik.

Vad tycker du gör detta område stort och komplicerat? Det finns ganska korta härledningar av Eulers identitet (jag tänker specifikt på härledningar som nyttjar Taylorpolynom, man ser att en del av polynomet konvergerar mot $\cos \theta$ och att den andra konvergerar mot $i\sin \theta$).

Tja, jag är en av få i klassen som lyckas bra i matematik, och mina handledare i gymnasiearbetet kan inte avancerad matematik. För att förklara Eulers identitet måste man ju även förklara trigonometri, komplexa tal och derivata, eller hur? Om jag hoppar över allt grundläggande, skulle handledarna inte förstå min redovisning. Jag har läst lite om Taylorserier på nätet, men jag fattar inte det än. Det hör väl hemma på universitetet? Jag vet inte om det finns med i Matematik 5, som jag läser nu. Jag föredrar faktiskt Eulers identitet av alla alternativ, men jag antar att jag måste skriva tiotals sidor om jag väljer det.

---

Jag har ett förslag på en öppen fråga som jag har suttit med av och på i nästan ett år nu men inte lyckas lösa. Kanske lyckas du? :)

På ett oändligt stort schackbräde står en springare på en ruta med koordinater $(x_1,y_1)$ (vi tänker oss ett kartesiskt koordinatsystem där varje ruta motsvarar en punkt). Finns det en sluten formel för det minsta antal drag springaren behöver för att ta sig till en godtycklig ruta $(x_2,y_2)$?

Jag har inte kommit så långt i matte att jag har kunskaper om sluten formel. Som det står på nätet: 'Ett uttryck i sluten form är en matematisk process som kan slutföras i ett ändligt antal operationer.' Tyvärr tror jag inte att jag kan lösa det... än i alla fall.

Mrpotatohead skrev:

Infinitesimaler är annars kul. Det har nog ingen annan gjort ett gymnasiearbete på:)

Det ser verkligen intressant ut, men vilka frågeställningar skulle jag kunna undersöka om jag valde det?

Jag skrev exempelvis mitt gymnasiearbete om hur man kunde göra en utvidgning av $\mathbb{R}$ till någon mängd $\mathbb{R}(\varepsilon)$ som innehåller infinitesimaler och deras multiplikativa inverser (vilket är anledningen till att MrPotatohead tog upp det ;)), och sedan definierade jag väldigt grundläggande objekt i analysen med detta (typ derivator, integraler med mera). Det finns flera trådar om detta här på Pluggakuten från när jag skrev mitt, du kanske kan låta dig inspireras?

Om det verkar spännande kan du läsa på lite om icke-standardanalys, vilket är det enda icke-standardramverket som fullständigt stödjer analys. Det finns en jättebra videoserie också om de hyperreella talen (de tal som används i icke-standardanalys) av någon fransman:

https://www.youtube.com/@thierryplatini6488

Jag tycker själv att tillämpad matematiska frågor låter interessant. Exempelvis kan man lära sig och utforska lite mer på hur en sjukdom sprider sig och använda matematiska modeller för att kanske ge förslag på olika lösningar. Kanske kan du utforska mer om att lösa och förutspå lite grann av börsmarknaden med hjälp av matematiska modeller, och sedan kanske komma på en egen modell baserad på andra saker. Allt låter som sci-fi, men jag vet inte. Kanske du kommer på en lösning som alla kommer att älska ;) inom en slags område, och sedan vidareutvecklar idén i de senare delar av livet.

Själv har jag aldrig gjort ett gymnasiearbete, så kanske det är inte det bästa att ta mina tips. Däremot tycker jag att ett gymnasiearbete inom tillämpad matematik skulle vara värt att läsa, enligt mig :). Kanske kan du fundera på det, om du är intresserad så klart.

sictransit skrev:

Lite åt Pythagoras, men Euklides Elementa är intressant. Vad "de gamla grekerna" gjorde med passare och vinkelhake/linjal och vad de försökte men ingen lyckades bevisa förrän 2000 år senare. Över huvud taget har ju Elementan varit "sanning" i typ 1000 år, så verket är värt ett specialarbete.

Skriver du något som har med pi att göra, så missa inte denna historia. Läs den oavsett, för den är riktigt rolig.

Det tog mig lång tid att förstå innehållet i alla länkar. Det verkar lite intressant. Jag antar att du menar att jag ska skriva om historien, några egna försök, och sedan framföra motbevis. Det kan gå, men jag känner inte för det.

Tja, jag är en av få i klassen som lyckas bra i matematik, och mina handledare i gymnasiearbetet kan inte avancerad matematik. För att förklara Eulers identitet måste man ju även förklara trigonometri, komplexa tal och derivata, eller hur? Om jag hoppar över allt grundläggande, skulle handledarna inte förstå min redovisning. Jag har läst lite om Taylorserier på nätet, men jag fattar inte det än. Det hör väl hemma på universitetet? Jag vet inte om det finns med i Matematik 5, som jag läser nu. Jag föredrar faktiskt Eulers identitet av alla alternativ, men jag antar att jag måste skriva tiotals sidor om jag väljer det.

Det vet jag inte om du behöver. Man får väl ändå anta att handledaren har vissa grundkunskaper, eller? 

naytte skrev:

Jag skrev exempelvis mitt gymnasiearbete om hur man kunde göra en utvidgning av $\mathbb{R}$ till någon mängd $\mathbb{R}(\varepsilon)$ som innehåller infinitesimaler och deras multiplikativa inverser (vilket är anledningen till att MrPotatohead tog upp det ;)), och sedan definierade jag väldigt grundläggande objekt i analysen med detta (typ derivator, integraler med mera). Det finns flera trådar om detta här på Pluggakuten från när jag skrev mitt, du kanske kan låta dig inspireras?

Om det verkar spännande kan du läsa på lite om icke-standardanalys, vilket är det enda icke-standardramverket som fullständigt stödjer analys. Det finns en jättebra videoserie också om de hyperreella talen (de tal som används i icke-standardanalys) av någon fransman:

https://www.youtube.com/@thierryplatini6488

Det verkar lite intressant, men ganska avancerat för mig. Läste du universitetsmatte när du gick på gymnasiet? Egentligen föredrar jag matematik på gymnasienivå eller något lite högre, som jag kan studera med lätthet. Jag behöver nog läsa en lärobok som innehåller avancerade ämnen som icke-standardanalys innan gymnasiearbetet, dock har jag inte tid för det.

naytte skrev:

Tja, jag är en av få i klassen som lyckas bra i matematik, och mina handledare i gymnasiearbetet kan inte avancerad matematik. För att förklara Eulers identitet måste man ju även förklara trigonometri, komplexa tal och derivata, eller hur? Om jag hoppar över allt grundläggande, skulle handledarna inte förstå min redovisning. Jag har läst lite om Taylorserier på nätet, men jag fattar inte det än. Det hör väl hemma på universitetet? Jag vet inte om det finns med i Matematik 5, som jag läser nu. Jag föredrar faktiskt Eulers identitet av alla alternativ, men jag antar att jag måste skriva tiotals sidor om jag väljer det.

Det vet jag inte om du behöver. Man får väl ändå anta att handledaren har vissa grundkunskaper, eller? 

Mina handledare är även svensklärare, och jag tror att de har kunskaper om aritmetik, algebra och funktioner, men inte om det som ingår i Matte 3c och 4. Jag är osäker på hur de kommer att bedöma mitt arbete. Jag ska redovisa för dem och andraårseleverna till våren, och jag tror inte att de kommer att förstå mig. Hur kan handledarna rätta mitt arbete om de inte förstår vad exempelvis komplexa tal innebär, om inte jag förklarar det grundläggande?

Eller... Handledarna kan ha en plan för det, till exempel om matematikläraren kan hjälpa till. Jag kommer att fråga både handledarna och matematikläraren om det.

Skulle det inte mejka mer sense att få en av mattelärarna som handledare?

Att sitta och förklara talsystem, gränsvärden (kontinuitet) och trigonometri i 10 sidor innan man ens kommer in på vad arbetet faktiskt handlar om verkar lite som tidsslöseri. 

Jag vill också bara påpeka att man egentligen inte lär sig vad komplexa tal eller gränsvärden faktiskt är på gymnasiet, utan snarare bara hur man räknar med dem. Så frågan är hur du ska förklara det. Antingen får du förklara det på ett väldigt förenklat sätt (men då blir förklaringarna ganska onödiga), eller så får du ta i med hårdhandskarna och förklara saker ordentligt (men då blir det väldigt långt (och för en icke-matteintresserad kanske helt obegripligt)).

Och en sak till: jag tror inte man kan dela in matematik i "gymnasiematte" och "universitetsmatte". Gör bara det du tycker är fett istället! :D