Gymn.arb om polynomekvationer, vad är egentligen sambandet mellan ekvationer och dimensioner?

Hej!

Jag håller på med gymnasiearbete naturvetenskaplig inriktning (distans via vux, har läst till ma4), ska skriva om polynomekvationer, och mina ingående frågeställningar var "Vad är egentligen algebraisk ekvationslösning och vilka var Abel och Galois? Hur reder man ut lösningsformeln för andra-, tredje- och fjärdegradsekvationer? Och varför finns ingen allmän lösning för femtegradsekvationer eller högre?"

När jag kom till den sista frågan, om femtegradsekvationer, försökte jag diskutera med en mattelärare jag stötte på men till saken hör, att han var otroligt duktig på matematik men hade kraftig utländsk brytning och det var inte alltid så lätt att hänga med. Det lilla jag förstod var någonting om att ifall man ritar kurvorna så blir de mer "svängiga" ju högre ekvationstal, (jag vet givetvis hur en rät linje resp andra- och tredje-gradskurva ser ut :-) och något om att femtegradskurvor får en annan våglängd(?) minns inte exakt vad han sa och fattade ingenting, vet inte ens om jag återger rätt. Om någon fattar får ni gärna förklara vad det skulle kunna vara han menade!

Sen sa han också att han inte tyckte det var nödvändigt att fördjupa mig i femtegradsekvationer och högre då det inte hör till gymnasiematten, och det trots allt är ett gymnasiearbete. Att femtegradsekvationer är sånt man använder i rymden och femdimensionella saker (ev ej rätt återgivet återigen)

Men jag känner ändå att det skulle tillföra något slags intresse till mitt arbete, det blir ju rätt platt och tråkigt att bara reda ut lösningsformler och skriva om Abel & Galois liv, min handledare på hermods skrev dessutom i responsen på min planering typ att "i ett gymnasiearbete ska man inte bara redovisa känd fakta utan undersöka och analysera fram ett resultat" så.

Jag tänkte på det här han sa (det lilla jag snappade upp) om femdimensionella saker osv, hur kan man koppla femtegradsekvationer till femdimensionella saker? Jag vet att frågan är väldigt flummig och lite dåligt formulerad, men vad är egentligen kopplingen mellan ekvationer och dimensioner? Finns det ens någon sådan eller är jag helt ute och cyklar?

Hittade detta på google:

"Andragradsekvationer löses som bekant med hjälp av kvadratkomplettering. Denna metod gäller generellt. Att man inte någonstans i matematiklitteraturen kan läsa om den tredimensionella motsvarigheten – kubkomplettering – beror helt enkelt på att någon sådan allmän metod inte finns. Men om koefficienterna är tillräckligt snälla går det att lösa en fullständig tredjegradsekvation genom att sammanföra ett antal klossar, lägga till det som saknas och skapa en kub."

Där dök dimensionerna och ekvationerna upp igen. Igen, förlåt för en flummig fråga men är det någon som fattar TYP vad jag menar och skulle kunna hjälpa till? :-)

På ett papper kan du på fri hand rita valfri figur i två dimensioner. Varje punkt på pappret kan du då beskriva med två koordinater t.ex. x och y.

En funktion kan beskriva något med två dimensioner. Ett klassiskt exempel är enhetscirkeln som matematiskt kan beskrivas som en funktion av x och y sådan att:

$f (x, y) = x^{2} + y^{2} = 1$

Sedan kan du fortsätta resonemanget om funktioner som beskrivet något i 3, 4 och 5 dimensioner.

Flera exempel på dimension:
Tre dimensioner: En flygande ballong, kan beskrivas ha en position x, y och z
Sex dimensioner: Ett flygplan kan beskrivas ha en position x, y, och z samt dessutom tre vinklar (tipp-, roll-, och gir-vinkeln)

I formell mening är en femtegradsekvation faktiskt inte ett 5-dimensionellt objekt utan ett 6-dimensionellt. Dimension, i alla fall som ett generealiserat koncept, handlar om hur många tal som krävs för att beskriva ett objekt. En andragradsekvation beskrivs med hjälp av tre tal

$p(x) = ax^2 + bx + c$

och är i denna generaliserade mening ett 3-dimensionellt objekt medan en femtegradsekvation är ett objekt som bestäms a 6 parametrar

$p(x) = ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f$

och är i denna mening 6-dimensionellt.

Å andra sidan så ockuperar graferna till dessa objekt inte 3- respektive 6-dimensionella rum.

De är i rumslig geometrisk mening 1-dimensionella objekt som linjer som lever i ett 2-dimensionellt rum. 1-dimensionella i meningen att när man väl står på en polynoms graf så kan man bara röra sig fram och tillbaka och inte i flera riktningarr.

Den kommentaren gjord så måste jag hålla med din gymnasielärare om att generella polynomekvationer inte är ett lämpligt gymnasiearbete då ditt utrymme att konstruera egna frågeställningar och lösningar är begränsad. Det går, men då skulle det vara viktigt att du har en handledare som verkligen kan området och som kan dirigera din uppmärksamhet, vilket är svårt att finna då polynomekvationer av högre ordning spelar en rätt så liten roll i praktiken.

Kom ihåg följande paragram om målen för gymnasiearbetet på skolverkets hemsida (https://www.skolverket.se/laroplaner-amnen-och-kurser/gymnasieutbildning/gymnasieskola/sok-amnen-kurser-och-program/program.htm?lang=sv&programCode=na001 )

Det ska utföras på ett sådant sätt att eleven formulerar en frågeställning samt planerar, genomför och utvärderar ett större arbete som utgår från centrala kunskapsområden inom programmet.

Polynom av högre ordning avser inte centrala kunskapsområden tyvärr och det här med att kunna planera det är centralt vilket endast är möjligt om det är på ett område som man är någorlunda orienterad från början.

SeriousCephalopod skrev :
I formell mening är en femtegradsekvation faktiskt inte ett 5-dimensionellt objekt utan ett 6-dimensionellt. Dimension, i alla fall som ett generealiserat koncept, handlar om hur många tal som krävs för att beskriva ett objekt. En andragradsekvation beskrivs med hjälp av tre tal
$p(x) = ax^2 + bx + c$
och är i denna generaliserade mening ett 3-dimensionellt objekt medan en femtegradsekvation är ett objekt som bestäms a 6 parametrar
$p(x) = ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f$
och är i denna mening 6-dimensionellt.
Å andra sidan så ockuperar graferna till dessa objekt inte 3- respektive 6-dimensionella rum.
De är i rumslig geometrisk mening 1-dimensionella objekt som linjer som lever i ett 2-dimensionellt rum. 1-dimensionella i meningen att när man väl står på en polynoms graf så kan man bara röra sig fram och tillbaka och inte i flera riktningarr.

Den kommentaren gjord så måste jag hålla med din gymnasielärare om att generella polynomekvationer inte är ett lämpligt gymnasiearbete då ditt utrymme att konstruera egna frågeställningar och lösningar är begränsad. Det går, men då skulle det vara viktigt att du har en handledare som verkligen kan området och som kan dirigera din uppmärksamhet, vilket är svårt att finna då polynomekvationer av högre ordning spelar en rätt så liten roll i praktiken.
Kom ihåg följande paragram om målen för gymnasiearbetet på skolverkets hemsida (https://www.skolverket.se/laroplaner-amnen-och-kurser/gymnasieutbildning/gymnasieskola/sok-amnen-kurser-och-program/program.htm?lang=sv&programCode=na001 )
Det ska utföras på ett sådant sätt att eleven formulerar en frågeställning samt planerar, genomför och utvärderar ett större arbete som utgår från centrala kunskapsområden inom programmet.
Polynom av högre ordning avser inte centrala kunskapsområden tyvärr och det här med att kunna planera det är centralt vilket endast är möjligt om det är på ett område som man är någorlunda orienterad från början.

Jag håller inte med om din beskrivning av skillnaden mellan ekvation och dimension.
Sätt y=p(x)
$f (x, y) = y - a x^{5} - b x^{4} . . . - f = 0$
f(x,y) har då en två-dimensionell egenskap (som kan ritas på papper). Egenskapen beskrivs med en femtegradsekvation.

Jag förstår tyvärr inte din kritik affe. Min poäng är ju att dimensiobsbegreppet är mångfaceterat så vilken del är problematisk? Att kurvor är endimensionella?

SeriousCephalopod skrev :
Jag förstår tyvärr inte din kritik affe. Min poäng är ju att dimensiobsbegreppet är mångfaceterat så vilken del är problematisk? Att kurvor är endimensionella?

$f_{1} (x, y) = y - a x^{2} - b x - c = 0$

$f_{1} (x, y)$ har en två-dimensionell egenskap (som kan ritas på papper). Egenskapen beskrivs med en andra-gradsekvation
$f_{2} (x, y) = y - a x^{5} - b x^{4} . . . - f = 0$
$f_{2} (x, y)$ har också en två-dimensionell egenskap (som kan ritas på papper). Egenskapen beskrivs med en femte-gradsekvation

Tvådimensionell egenskap är inte en matematidk term. Det du talar om är att ditt objekt är inbäddat i ett tvådimensionellt rum, eller att definitionsmängden är tvådimensionell, men det är inte samma sak som intrinsisk dimension, men det är fortfarande något som karaktäriserar strukturen såklart.

Är en sfär x^2 + y^2 + z^2 = 1 något tredimensionellt?

Svara

Visa senaste svar