Gruppverkan, banor och fixpunkter

Hej,

Sitter med nedanstående uppgift och har som ni ser tillgång till facit men förstår inte resonemanget. Tycker det är svårt att tolka uppgifter om gruppverkan och hur man ska tänka gällande förhållandet mellan funktion och permutation. (i) är jag på det klara med i denna uppgiften, men däremot (ii) och (iii) förstår jag inte riktigt. Vad innebär egentligen funktionen (3)-(5)? Och permutationen pi, blir inte den bara (3)?

Skulle alltså behöva hjälp att tolka uppgiften och hur man ska angripa den, vore otroligt tacksam!

Ett försök att konkretisera saker:

Funktionen $f:[3] \to [5]$ har en startmängd med 3 objekt och en målmängd med 5. Man kan tänka på det som att de x-värden vi kan sätta in är 1,2,3 och de y-värden vi kan få ut är 1,2,3,4,5. Varje x ger ett y, men vi vet inte vilket x som ger vilket y, det beror på funktionen. En visualisering är att lista x- och y-värdena i varsin kolumn. f tar varje x till något y, vilket kan göras med pilar:

(notera att olika x får ge samma y)

Gruppverkan $f \circ \pi^{-1}$ innebär att x-värdena först blandas om enligt någon permutation $\pi^{-1}$ , och sen kastas de in i funktionen. Låt t.ex. $\pi^{-1} = (123)$ (1 blir 2, 2 blir 3, 3 blir 1). Följ varje x-värde genom den här processen (använder samma f som i exemplet ovan) så får du att:

x=1 permuteras till 2, 2 tas via f till 3
x=2 permuteras till 3, 3 tas via f till 4
x=3 permuteras till 1, 1 tas via f till 3

Så den funktion som definieras av $f\circ \pi^{-1}$ är i det här fallet:

En permutation som är en stabilisator lämnar f oförändrad, dvs pildragningarna skulle då vara samma som innan. Så är inte fallet här, pilarna går nu lite annorlunda. Permutationen vi valde är därför inte en stabilisator till f. Uppgiften handlar om att olika sorters funktioner är olika "tillåtande" mot att x-värdena blandas om. Förhoppningsvis känns det rimligt att ju fler gånger en funktion upprepar ett y-värde, desto "mer immun" blir funktionen mot att x-värdena blandas om, dvs desto fler stabilisatorer kan man hitta.

(Notera förresten att det är en invers permutation $\pi^{-1}$ som används i vår gruppverkan. Så om $\pi^{-1}=(123)$ hade lämnat f oförändrad, är det den inversa permutationen $\pi=(132)$ som är stabilisatorn! Ett extra lager av förvirring, men det verkar inte spela någon roll i den här uppgiften eftersom de bara ska räknas, inte anges)

Fantastiskt, STOR guldstjärna till dig! Detta konkretiserade hela konceptet och gjorde det mycket lättare att "sätta på papper", otroligt stort tack för att du tog dig tiden.

Svara